AT_code_festival_2017_qualc_d - Yet Another Palindrome Partitioning 题解

Yet Another Palindrome Partitioning 题解

题目大意

给出一个字符串，求把这个字符串划分成最少的小段，使每个小段都可以经过字母重组后为回文串。

题目分析

如果暴力的话，需要 DFS 段数、每一段的左节点、右节点，以及判断是否为回文串，时间复杂度在 \(O(|S|^{|S|})\) 左右。

但是本题需要将字符串划分成若干子串，那么就可以考虑 DP。那么可以写出一个状态转移方程：

\[dp_i=\min(dp_j+1) ,j \leq i,S_{i\sim j}为回文串 \]

其中 \(dp_i\) 表示 \(S\) 的前 \(i\) 个字符被划分成满足题意的子串最少的划分数，\(i\) 是当前这段的右节点，\(j\) 是需要匹配的左节点。要使答案最小，肯定是取 \(\min\) 值。

时间复杂度 \(O(|S|^3)\) (这里判断回文还有线性的时间复杂度)。

那么考虑优化：

优化 1

首先判断回文的线性复杂度是非常可恶的，必须优化掉。

传统的判断回文是将字符串左右对比，那么有没有一种办法可以 \(O(1)\) 对比呢？我们可以使用异或进行优化。根据异或的性质,\(a \oplus b \oplus b=a\)，那么左右相同的字符就会抵消掉。为了不出现冲突（即两个不同的字符异或后有一部分变了），需要给每一个字符一个特定的值，将 a 赋 \(2^0\)，给 b 赋 \(2^1\) \(......\)

那么回文串就有两种情况：

1.例如 abcba 一样的，奇数个字符的回文串，异或优化后会剩下中间的字符（即剩下 \(2^{x}\)）。

2.例如 abba 一样的，偶数个字符的回文串，异或优化后什么也不剩了（即剩下 0）。

由于本题只考虑小写英文字母，时间复杂度 \(O(26|S|^2)\)

优化 2

有一点记忆化的思想，将 \(dp_i\) 的值存储起来，每次更新更优的，就可以优化取 \(\min\) 值的时间。

最后还需要用 bitset 优化 \(dp\) 数组，否则要爆（bitset 可以 \(O(1)\) 对整个数组进行位运算）。

代码放上来

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;

string s;
int dp[200005];
int xop[200005];//存储每个字符值的前缀异或
int w[1<<26];//存储每个字符的最优 dp 值

int main(void)
{
    memset(w,0x7f,sizeof(w));
    w[0]=0;
    cin>>s;
    for(int i=0;i<s.length();i++)
        xop[i]=(i==0?1<<s[i]-'a':xop[i-1]^(1<<s[i]-'a'));//预处理前缀异或值
    for(int i=0;i<s.length();i++)
    {
        dp[i]=w[xop[i]];
        for(int j=0;j<26;j++)
            dp[i]=min(dp[i],w[xop[i]^(1<<j)]);
        w[xop[i]]=min(w[xop[i]],dp[i]);//更新更优的 dp 值
        dp[i]++;
    }
    cout<<dp[s.length()-1];
    return 0;
}

本题完结散花

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