扩展欧几里得算法（含严谨证明）

要整扩展欧几里得，我们肯定要学会欧几里得算法，如果你没有学过gcd(a,b)=gcd(b,a%b),那么打开这个链接：欧几里得算法

好了，如果你已经学完了欧几里得，那么就能默认你知道gcd(a,b)=gcd(b,a%b),那么什么是扩展欧几里得，就是对于ax+by=gcd(a,b)，一定有一组整数解x，y（注意！不要用24和36这个例子卡我，x，y是整数，可以为负的！）

在证明之前，我们需要明确一种术学上的证明工具，数学归纳法：

　　　　最简单和常见的数学归纳法是证明当n等于任意一个自然数时某命题成立。证明分下面两步：

　　　　证明当n= 1时命题成立。

　　　　假设n=m时命题成立，那么可以推导出在n=m+1时命题也成立。（m代表任意自然数）

　　　　然后命题得证。

　　　　而在递归式中也是如此。但是会有所不同

当b=0时，很明显，这个定理时成立的，y取0，x取1，那么等式成立

现在只需要证，假设定理gcd(b,a%b)成立，那么定理在gcd(a,b)中也成立就行。

假设,b*x2+a%b*y2=gcd(b,a%b)时存在解x2,y2

那么，需要证明，a*x1+b*y1=gcd(a,b)存在解x1,y1,

我们令a=k*b+c,也就是c是a%b.

移项得：c=a-k*b.将这个式子代入到需要证明的式子：b*x2+(a-k*b)*y2=gcd(b,a%b)，再将其运用乘法分配律：b*x2+a*y2-k*b*y2=gcd(b,a%b)

再合并同类项：a*y2+b*(x2-k*y2)=gcd(b,a%b)=gcd(a,b)

我们只需要让x=y2,y=(x2-k*y2)不就行了？

得证，然后代码实现过程也是怎么写的。

（已知a、b，求一组解x、y使ax+by=gcd(a,b)）

#include <iostream>
#include <cstdlib>
#include <cstring>
#include <algorithm>
#define REP(i,k,n)  for(int i=k;i<=n;i++)
#define in(a) a=read()
using namespace std;
inline int read(){
    int x=0,f=1;
    char ch=getchar();
    for(;!isdigit(ch);ch=getchar())
        if(ch=='-')
            f=-1;
    for(;isdigit(ch);ch=getchar())
        x=x*10+ch-'0';
    return x*f;
}
int x,y,t,A,B,d;
inline void exgcd(int a,int b,int &x,int &y,int &d){
    if(!b)  d=a,x=1,y=0;
    else  exgcd(b,a%b,x,y,d),t=x,x=y,y=t-a/b*y;
}
int main(){
    in(A),in(B);
    exgcd(A,B,x,y,d);
    cout<<d<<" "<<x<<" "<<y;
}
    

 最后，再说一下怎么通过扩展欧几里得解不定方程ax+by=c.（x、y为整数）

首先，我们必须保证，c能整除gcd(a,b)要不然就无解

然后我们找特解：讲a,b除以gcd(a,b)，得到a0,b0使他们互质，再用扩展欧几里得求a0*x+b0*y=1的解x0,y0(这组解是特解)

然后通解就是x=x0+b0*t,y=y0+a0*t。