2023.12.9 总结

T1

题意：一枚棋子每一步只能走到与它原位置不同行与不同列的位置，现在将其放在一个 $R$ 行 $C$ 列的棋盘中，此棋子走 $N$ 步，经过的点构成一个排列，问有多少种不同排列？$(R,C,N\le 200)$
初步思路此题是 $DP$ 。
设 $f_{i,j,u}$ 为走了 $i$ 步，在 $j,u$ 位置的走法，每一次一个一个点转移，时间复杂度 $O(N{R}^2{C}^2)$ 。
反着考虑，每走一步先求整个棋盘的总方案，再减去同行同列的方案，时间复杂度为 $O(N{R}^{2}C+NR{C}^2)$ 。
用前缀和优化，时间复杂度为 $O(NRC)$ 。

T2

题意：一个 $n$ 点 $m$ 边的无向图，共 $k$ 种颜色，编号为 $1$ 到 $k$ ，对这些点染色，相邻的点的颜色编号和不能为 $z$ ，问有多少种方案？$(n,m\le 18,k,z\le {10}^9)$
$n,m$ 很小，从 $n,m$ 角度考虑。
考虑容斥，每次钦定一些边矛盾，并查集处理，套容斥公式即可。
时间复杂度 $O(2^{m}n)$ 。

T3

题意：求有多少个数既为 $N$ 的倍数，又为 $S$ 的子串。$(|S|\le 5000,N\le 1000)$
考虑 $DP$ 。
设 $f_{i,j}$ 为处理到第 $i$ 位，除 $N$ 余 $j$ 的数有多少个，直接 $DP$ 处理即可，答案即为 $\sum _{1\le i\le |S|}{f}_{i,0}$ 。
但是这样会出现重复的数，若一个数在 $S$ 中出现了两次，就会记重。
我们可以这样做，$DP$ 状态加一个 $0$ 到 $9$ ，表示最后一位，初始化不在 $0$ 而在每一位初始化。
这样就可以做到去重。

T4

不会