【题解 P1552】 派遣

[APIO2012] 派遣

题目背景

在一个忍者的帮派里，一些忍者们被选中派遣给顾客，然后依据自己的工作获取报偿。

题目描述

在这个帮派里，有一名忍者被称之为 Master。除了 Master 以外，每名忍者都有且仅有一个上级。为保密，同时增强忍者们的领导力，所有与他们工作相关的指令总是由上级发送给他的直接下属，而不允许通过其他的方式发送。

现在你要招募一批忍者，并把它们派遣给顾客。你需要为每个被派遣的忍者支付一定的薪水，同时使得支付的薪水总额不超过你的预算。另外，为了发送指令，你需要选择一名忍者作为管理者，要求这个管理者可以向所有被派遣的忍者发送指令，在发送指令时，任何忍者（不管是否被派遣）都可以作为消息的传递人。管理者自己可以被派遣，也可以不被派遣。当然，如果管理者没有被排遣，你就不需要支付管理者的薪水。

你的目标是在预算内使顾客的满意度最大。这里定义顾客的满意度为派遣的忍者总数乘以管理者的领导力水平，其中每个忍者的领导力水平也是一定的。

写一个程序，给定每一个忍者 $i$ 的上级 $B_i$，薪水 $C_i$，领导力 $L_i$，以及支付给忍者们的薪水总预算 $M$，输出在预算内满足上述要求时顾客满意度的最大值。

输入格式

第一行包含两个整数 $N$ 和 $M$，其中 $N$ 表示忍者的个数，$M$表示薪水的总预算。

接下来 $N$ 行描述忍者们的上级、薪水以及领导力。其中的第i行包含三个整数 $B_i,C_i,L_i$ 分别表示第 $i$ 个忍者的上级，薪水以及领导力。Master 满足 $B_i=0$，并且每一个忍者的老板的编号一定小于自己的编号 $B_i<i$。

输出格式

一行一个整数，表示在预算内顾客的满意度的最大值。

样例 #1

样例输入 #1

5 4
0 3 3
1 3 5
2 2 2
1 2 4
2 3 1

样例输出 #1

6

提示

$1\le N\le {10}^5$，$1\le M\le {10}^9$，$0\le B_i<i$，$1\le C_i\le M$，$1\le L_i\le {10}^9$。

对于 $30\mathrm{\%}$ 的数据，$N\le 3000$。

解题思路

简单来说，就是找出一些总代价小于 $m$ 的树上节点，使得他们的数量乘上他们的 $LCA$ 的价值最大。
很明显，对于一个节点，若将它作为 $LCA$ ，那么要选出最多的节点，要使每一个节点的代价尽可能的小。
所以我们需要求出一个子树内最多能选出多少个总共代价和小于 $m$ 的节点。
那这就可以用可并堆了。
我们将每一个节点开始时都看做一个堆，一开始一共 $n$ 个堆，每次向上合并时都将儿子节点的堆合并到自己的堆里面。
每次合并完后将堆里面最大的节点给去掉，直到堆代价和小于 $m$ 为止，因为这样做是可以保证选出来尽量多的数。
每次删完后，取堆里节点个数乘上该节点的价值的最大值即可。
时间复杂度 $O(nlogn)$ 。

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,m,d[100005],v[100005],root,s,size[100005],sum[100005];
long long f[100005],lc[100005],rc[100005],dist[100005];
vector<long long> a[100005]; 
long long dijah(long long x)
{
	if(f[x]!=x)f[x]=dijah(f[x]);
	return f[x];
}
long long merge(long long x,long long y)
{
	if(x==0)return y;
	if(y==0)return x;
	if(v[x]<v[y])swap(x,y);
	rc[x]=merge(rc[x],y);
	f[rc[x]]=x;
	if(dist[lc[x]]<dist[rc[x]])swap(lc[x],rc[x]);
	if(rc[x]!=0)dist[x]=dist[rc[x]]+1;
	else dist[x]=0;
	return x; 
}
void dfs(long long x,long long y)
{
	long long q,w;
	size[x]=1;
	sum[x]=v[x];
	for(int i=0;i<a[x].size();i++)
	{
		if(a[x][i]==y)continue;
		dfs(a[x][i],x);
		q=dijah(x);
		w=dijah(a[x][i]);
		size[q]=size[w]=size[q]+size[w];
		sum[q]=sum[w]=sum[q]+sum[w];
		f[q]=f[w]=merge(q,w);
	}
	while(sum[dijah(x)]>m)
	{
		q=dijah(x);
		size[lc[q]]=size[rc[q]]=size[q]-1;
		sum[lc[q]]=sum[rc[q]]=sum[q]-v[q];
		f[lc[q]]=f[rc[q]]=merge(lc[q],rc[q]);
		f[q]=lc[q];
	} 
	s=max(s,size[dijah(x)]*d[x]);
	return;
}
int main()
{
	dist[0]=-1;
	long long x;
	scanf("%lld%lld",&n,&m);
	for(int i=1;i<=n;i++)f[i]=i;
	for(int i=1;i<=n;i++)
	{
		scanf("%lld%lld%lld",&x,&v[i],&d[i]);
		if(x!=0)a[x].push_back(i),a[i].push_back(x);
		else root=i;
	}
	dfs(root,0);
	cout<<s;








  return 0;
}