【GJOI 2023.10.14 T3】 树上询问

树上询问

你有一棵 $n$ 个节点的树 $T$ ，回答 $m$ 个询问，每次询问给你两个整数 $l,r$ ，问存在多少个整数 $k$ 使得从 $l$ 沿着 $l->r$ 的简单路径走 $k$ 步恰好到 $k$ ，$n,m\le {10}^6$。

解题思路

分析一下式子，可以发现，设 $LCA(l,r)=z$ ，若 $k$ 在 $l->z$ 路径上，有 $dee{p}_l-dee{p}_k=k$ ，即为 $dee{p}_l=dee{p}_k+k$ ，即为统计 $l->z$ 上有多少个节点 $i$ 满足 $dee{p}_i+i=dee{p}_l$ 。
而在 $z->r$ 路径上时，有 $dee{p}_k-dee{p}_z+dee{p}_l-dee{p}_z=k$ ，即为 $dee{p}_k-k=dee{p}_z\times 2-dee{p}_l$ ，即为统计 $r->z$ 上有多少个节点 $i$ 满足 $dee{p}_i-i=dee{p}_z\times 2-dee{p}_l$ 。
以第一种情况为例，将所有询问离线下来，然后从根节点开始遍历一遍树。
途径一个节点 $i$ 时就把 $i+dee{p}_i$ 在一个数组中 $v$ 存下来，每次处理询问时只需在 $v$ 中找即可。
第二种情况同理，只是 $dee{p}_i-i$ 可能为负数，需要离散化或开 $map$ 。
总时间复杂度 $O(nlogn)$ 。

Code

#include<bits/stdc++.h>
#pragma GCC optimize(1)
#pragma GCC optimize(2)
#pragma GCC optimize(3,"Ofast","inline")
using namespace std;
struct datay
{
	int x,y,z;
}t[1200005];
int n,m,deep[300005],f[300005][21],v[600005];
map<int,int> v1;
vector<int> a[300005];
vector<datay> d[300005];
void dijah(int x,int y)
{
	f[x][0]=y;
	deep[x]=deep[y]+1;
	for(int i=0;i<a[x].size();i++)
	{
		if(a[x][i]==y)continue;
		dijah(a[x][i],x);
	}
	return;
}
int LCA(int x,int y)
{
	if(deep[x]<deep[y])swap(x,y);
	for(int i=20;i>=0;i--)
	{
		if(deep[f[x][i]]>=deep[y])x=f[x][i];
	}
	if(x==y)return x;
	for(int i=20;i>=0;i--)
	{
		if(f[x][i]!=f[y][i])x=f[x][i],y=f[y][i];
	}
	return f[x][0];
}
bool cmp1(datay q,datay w)
{
	return q.z<w.z;
}
void gaia(int x,int y)
{
	v[x+deep[x]]++;
	v1[deep[x]-x]++;
	for(int i=0;i<a[x].size();i++)
	{
		if(a[x][i]==y)continue;
		gaia(a[x][i],x);
	}
	for(int i=0;i<d[x].size();i++)
	{
		if(d[x][i].z%2==1)d[x][i].x=v[d[x][i].y];
		else d[x][i].x=v1[d[x][i].y];
	}
	v[x+deep[x]]--;
	v1[deep[x]-x]--;
	return;
}
int main()
{
	int x,y,z;
	scanf("%d%d",&n,&m);
	for(int i=1;i<n;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		a[x].push_back(y);
		a[y].push_back(x);
	}
	dijah(1,0);
	for(int i=1;i<=20;i++)
	{
		for(int j=1;j<=n;j++)f[j][i]=f[f[j][i-1]][i-1];
	}
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		scanf("%d%d",&x,&y);
		z=LCA(x,y);
		t[i*4-3].x=x;
		t[i*4-3].y=deep[x];
		t[i*4-3].z=i*4-3;
		t[i*4-2].x=y;
		t[i*4-2].y=deep[z]-(deep[x]-deep[z]);
		t[i*4-2].z=i*4-2;
		t[i*4-1].x=z;
		t[i*4-1].y=deep[x];
		t[i*4-1].z=i*4-1;
		t[i*4].x=f[z][0];
		t[i*4].y=deep[z]-(deep[x]-deep[z]);
		t[i*4].z=i*4;
	}
	for(int i=1;i<=4*m;i++)d[t[i].x].push_back(t[i]);
	gaia(1,0);
	long long g=0;
	for(int i=0;i<=n;i++)
	{
		for(int j=0;j<d[i].size();j++)t[++g]=d[i][j];
	}
	sort(t+1,t+g+1,cmp1);
	for(int i=1;i<=m;i++)
	{
		printf("%d\n",t[i*4-3].x+t[i*4-2].x-t[i*4-1].x-t[i*4].x);
	}








  return 0;
}