【题解 P4550】 收集邮票

收集邮票

题目描述

有 $n$ 种不同的邮票，皮皮想收集所有种类的邮票。唯一的收集方法是到同学凡凡那里购买，每次只能买一张，并且买到的邮票究竟是 $n$ 种邮票中的哪一种是等概率的，概率均为 $1/n$。但是由于凡凡也很喜欢邮票，所以皮皮购买第 $k$ 次邮票需要支付 $k$ 元钱。

现在皮皮手中没有邮票，皮皮想知道自己得到所有种类的邮票需要花费的钱数目的期望。

输入格式

一行，一个数字 $N$（$N\le 10000$）。

输出格式

输出要付出多少钱，保留二位小数。

样例 1

样例输入 1

3

样例输出 1

21.25

算法过程

一看就是一道期望 $DP$ 。
定义 $f_i$ 为已经买 $i$ 种邮票的还需要次数，$g_i$ 为已经买 $i$ 种邮票的还需要花费。
显然，$f_n=0$ 。
很明显，$f_i$ 有 $\frac{i}{n}$ 的概率买到之前的，即为 $\frac{i}{n}\times f_i$ ，有 $\frac{n-i}{n}$ 买到新的，即为 $\frac{n-i}{n}\times f_{i+1}$ 。
所以 $f_i=\frac{i}{n}\times f_i+\frac{n-i}{n}\times f_{i+1}+1$ 。
即为 $f_i=f_{i+1}+\frac{n}{n-i}$ 。
而 $g_i$ 同理，若是之前的，即为已有的花费加上这一次的花费，分别是 $g_i$ 与 $f_i+1$ ，就是 $\frac{i}{n}\times (g_i+f_i+1)$ ,买到新的同上。
所以，$g_i=\frac{i}{n}\times (g_i+f_i+1)+\frac{n-i}{n}\times (g_{i+1}+f_{i+1}+1)$ 。
化简，$g_i=\frac{i}{n-i}\times f_i+g_{i+1}+f_{i+1}+\frac{n}{n-i}$

Code

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
long long n,a[1000005];
double f[1000005],l[1000005];
int main()
{
	scanf("%lld",&n);
	for(int i=n-1;i>=0;i--)
	{
		f[i]=f[i+1]+(1.0*n)/(1.0*(n-i));
		l[i]=(1.0*i)/(1.0*(n-i))*(f[i]+1)+l[i+1]+f[i+1]+1;
	}
	printf("%.2lf",l[0]);








  return 0;
}