2023.9.23 总结

T1

题面：从左往右有n个格子，编号 $1$ 至 $n$ 。一开始每个格子都有1颗糖果。你总共需要进行 $k$ 次操作，每次操作把从某个格子取 $1$ 颗糖（前提是该格子有糖），放到另一个格子。当 $k$ 次操作全部结束以后，从左往右检查，这 $n$ 个格子的糖果数量。求这 $n$ 个格子总共有多少种不同的状态，答案模 $1000000007$ ，$1\le n\le 200000,1\le k\le {10}^9$ 。
因为最多换 $k$ 次，且只有 $n$ 个位，所以最多只有 $min(n,k+1)$ 个位为 $0$ 。
那我们可以枚举有 $i$ 为 $0$ ，有 $C(n,i)$ 种位置为 $0$ ，挪到其他任意位置上，可一个都不放（就是只有原来那个1），方案数就是一个经典放盘子问题了，即为 $C(n,i)\times C(n-1,i)$。
最后特判一下全是1即可。

T2

题意：给出一个 $n\times m$ 的网格，其中有一些格子是黑色，现定义一个美丽的图为：对于一个黑色格子，它的下面那个格子与它右下面那个格子都需为黑色，现在可以将一些格子染成黑色，求最终有多少个美丽的图？
分析美丽的图的性质，可发现：对于每一列，只有最上面那一个需要染色，对于一个斜行，也只有最左边的需要染色。
当然，已有的需要考虑。
我们可以以此来考虑$DP$ 。
就是每一列每一列的做，考虑每一个斜行就可以了。

T3

题面：给出包含 $n$ 个整数的数组 $a$ ，其中对于所有的 $i$ ，都满足 $1\le a[i]\le m$。同时 $1$ ~ $m$ 在 $a$ 中至少出现了一次，请你找出数组 $a$ 的一个长度为 $m$ 的子序列，使得 $m$ 个整数在子序列中恰好只出现 $1$ 次，输出满足条件的字典序最小的子序列。
这道题可以用线段树暴做，这里提供一种贪心的想法。
选出一个满足题目要求的子序列很简单，但是重点是让字典序最小。
很明显，我们希望让越大的数越后选，但是又必须选到这个数，在他最后一次出现切前面没选到的时候就必须选他了。
所以，我们可以这样贪心，开一个数组 $v$ 以及 $last$ ，记录这个数是否选到过以及最后一次出现的位置。
从前往候选，开一个记录选数的序列，若最后选的一个数以后还有且选现在这个数比最后选的一个数优，替换之，否则将其加进去。
时间复杂度 $O(n)$ 可过。
还可以这样：
我们可以从后往前选，随便构造出一个序列，不一定字典序最小，用链表存储。
每次往前找，看一下当前选的这个数放进去之后会不会比原来更优，是则替换之，然后看前一个。

T4

题意：给出一棵树，求不在同一条路径上的三元点对数量。
这道题是正着思考。
从一个节点出发，若有三个节点不在同一路径上，则要不然在他不同的三棵子树，或两个在两棵不同的子树，一个不在自己子树，或者两个或三个节点都在其祖先但不在自己的子树上。
对于最后一种情况，其实考虑到别的节点，还会变成前两种情况。
所以，只考虑前两种情况。
我们令 $siz{e}_x$ 为以 $x$ 为子树根节点，子树的节点数量。
对于以 $x$ 为根节点的子树，那么对于第一种情况，就是 $(n-siz{e}_x)$ 乘上任意两个子树 $size$ 的乘积和。
对于第二种情况，就是任意三个子树 $size$ 的乘积和。
累加输出答案。

T5

题意：给出一个字符串 $a$ ，求有多少个字符串 $b$ ，使得 $bb$ 为 $a$ 的子序列。
一个基本的思路，枚举在第 $i$ 个位置分开 $a$ ，前面有个 $b$ ，后面也有个 $b$ 。
但要统计的是字符串，有可能会有重复，我们要想方法去重。
先预处理出每个位置往后字符 $a,b,c,d...$ 第一次出现的位置，记为 $b_{i,j}$
动规数组 $f_{i,j}$ 表示从 $1i,xj$ 中新增了多少个满足的字符串，$x$ 为分开的位置，注意，是新增的字符串。
转移我们只需枚举每个字母，他们对于 $i,j$ 往后第一个出现的位置 $x,y$ ,让 $f_{x,y}$ 加上 $fi,j$ 即可。
这里可以保证一个东西，就是字符串一定在最前面出现。
例如：

abc|abcabc

我们在如图转移时，就会在 $f_{3,6}$ 加上 $abc$ 的答案，而不会在 $f_{3,9}$ 加上。
如何统计答案呢？
若在 $x$ 处分开，第 $x$ 个字符为 $A$，对于 $f_{i,j}$ ，若 $i$ 后 $A$ 第一次出现是在 $x$ 处，就可以使答案加上 $f_{i,j}$ 。
因为，如果不是在 $x$ 处，设是在 $y$ 处，就说明之前已经有一次以 $y$ 为分割处理过这个答案了。
举例：

abcabc|abc

我们在做 $f_{3,9}$ 时，中间包含了 $abc$ 。
但 $3$ 后第 $1$ 次出现 $a$ 是在 $4$ ,说明我们在 $4$ 前分割时已处理过这个答案。
最后输出即可。
代码：

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
const long long mod=998244353;
string a;
long long t[105][55],s,f[105][105];
void dijah(long long x)
{
	long long q=t[1][a[x]-'a'],w;
	if(q==0||q>=x)return;
	memset(f,0,sizeof(f));
	f[q][x]=1;
	for(int i=1;i<x;i++)
	{
		for(int j=x;j<a.size();j++)
		{
			for(int u=0;u<26;u++)
			{
				q=t[i+1][u],w=t[j+1][u];
				if(q&&w&&q<x)f[q][w]+=f[i][j],f[q][w]%=mod;
			}
			q=t[i+1][a[x]-'a'];
			if(q==x)s+=f[i][j],s%=mod;
		}
	}
	return;
}
int main()
{
	cin>>a;
	a=' '+a;
	for(int i=1;i<a.size();i++)
	{
		for(int j=0;j<26;j++)
		{
			for(int u=i;u<a.size();u++)
			{
				if(j+'a'==a[u])
				{
					t[i][j]=u;
					break;
				}
			}
		}
	}
	for(int i=2;i<a.size();i++)dijah(i),s%=mod;
	cout<<s;








  return 0;
}