2023.8总结
Day 1
T1
.png)
RT
注意到只能往右或往下走，所以一个操作改变的对于一条路径来讲必为连续的。
所以考虑DP。
设 $ f(i,j)$ 为走到 \(i,j\) 最小需要进行多少次操作
得 :
$ O(nm) $，可过。
T2
.png)
$ \sum_{}{n} \le 200000,T \le 5$
似乎是我第一次考场切紫题
注意，度数为1的节点为叶子节点，所以找根的时候要注意，不能直接取1为根。
先考虑是否能用树形DP。
由于每个节点上都有度数，清掉一个非叶子节点度数有两种情况，一是 \(LCA\) 为自己的两个叶子节点相连，二是 \(LCA\) 为自己祖先的两个叶子节点相连。
由下往上，可确定出每个儿子节点第二种情况只有多少种，在求出自己的第二种情况。
无解即为连第一种答案都满足不了或根节点仍需比他更大的 \(LCA\) 删除。
此题过。
突然觉得好水
T3
题意：给出一个 \(n\) 个点 \(m\) 条边的有向图，求将一条边反向后强连通分量数目是否改变
$ n \le 1000,m \le 200000$
混20暴力tarjan求强连通，思考如何AC。
若两点在同一 \(SCC\) 里，若一点只有一条路径到另一点，则反向之后 \(SCC\) 个数变化，否则不变。
若不在同一 \(SCC\) 若一点到另一点只有一条路径，反向后不变，否则变化。
怎么求一条边上两点只能通过此边连接呢？
只需先对这个点做2次dfs，一次沿着正着边表，另一次沿着反的边表，若两次 \(dfs\) 到另一点深度都为1，及只有一条，否则多条。
证明：题目保证无重边，若有多条路径，两次必有一次不会通过这条边到另一点。
所以做完 \(SCC\) 后 ， 每个点都做2次 \(dfs\) ,时间复杂度 \(O(nm)\) 可过。
T4
???
Day 2
T1
题意：一个长度为 \(n\) 序列，初始时一个位置上有1，每次可以将一个长度不超过 \(k\) 子串对称，有一些位置上不能放1，最终求一些位置上换几次能到此位。
$ n\le 100000 $
可以打SPFA，每个点连向可以换到的位置。
由于能到的位置可能很多，跑SPFA会超时。
考虑优化。
由于一个节点只能去一次(边权为1)，所以考虑用 \(set\) 。
每次二分 \(set\) 区间，再遍历，每次删掉已遍历的点。
可过此题。
T2
题意：给出一个由"?","(",")"组成，'?'可替换成'('')',问有多少个子串合法？
首先，若一个子串长度为奇数必然不可能，所以要为偶数。
考虑将所有'?'替换成'(',直到一个子串内'('个数比')'少时，才可以不合法，可以求出一个子串最多能往右扩展多少。
将'?'替换成')'同理。
设 \(i\) 最多到左到 \(p_i\) ，到右到 \(q_i\)
若 \(j \le i\)
有 :
将 \(i,j\) 奇偶性分两次处理，每次查找对于 \(i\) , \(j \le i\) 且 \(p_i \ge j\) , \(q_j \le i\)的个数
时间复杂度 \(O(nlogn)\)
T3 T4
??
Day3没了
Day 4
T1
考试的时候一眼莫反了。
求数对 \((x,y)\) 中 x与y不互质且 \(gcd(x,y) \neq x,y\)的个数
莫反模板啊
T2
题面:
为帮助捕获在逃的犯人, 警局引进了一套新计算机系统. 系统覆盖了N 个城市，有E条双向的道路。城市标号为1 到N. 犯人经常从一个城市逃到另外一个城市. 所以警察想知道应该在哪里设置障碍去抓犯人.计算机系统需要回答下面两种类型的问题:
- 考虑城市A 、B； 如果把连接城市G1和G2的那条公路切断，逃犯还能从城市A逃到城市B吗?
- 考虑三个城市A、B 、C. 如果把城市C封锁（则不能从其他进入城市C），逃犯还能从城市A逃到城市B吗?
你的任务是帮计算机系统回答这些提问。（一开始，任意两个城市都是可以相互到达的）.
这道题似乎是我第一次做圆方树。
问题1很好解决，边双缩点后看 \(g1,g2\) 在不在 \(x,y\) 的路径上。
问题2呢？圆方树
将点双后点双新开一个点，每个点连向对应的点双。
这样就可以跑 \(LCA\)了
T3
题面：
无线传感器网络由n个独立的设备（编号从0至n-1）和一个控制中心(编号是n)组成。每个设备都必须能够将其传感器读数发送到控制中心，但是由于范围的限制，并非所有设备都可以直接与控制中心通信。为了解决这个问题，每个设备都分配有一个父亲，它可以直接向其父亲发送数据。父亲可以是另一台设备或控制中心。每个设备都从其所有儿子设备（如果有的话）接收读数，并添加自己的读数，并将所有内容传递给其父设备。所有读数必须最终到达控制中心。设备拥有的儿子数量称为该设备的负担值。整个网络的负担值是其所有设备中的最大负担值。务必注意：控制中心不是设备。
为了描述设备与设备之间（不是跟控制中心通信）的能否通信，给出二维邻接矩阵 edge[0..n-1][0..n-1]，如果第i个设备可以直接将数据传输到第j个设备，则第i个元素的第j个字符等于'Y'，否则为'N'。无线传感器网络是有向无环图，因此，如果设备d1可以直接或间接向设备d2传输数据，则设备d2不能直接或间接向设备d1传输数据。
再给出一个数组C[0..n-1]，其中C[i]='Y'表示第i个设置可以直接与控制中心通信，'N'则表示不能。
你的任务是为每个设备指定一个父亲(父亲可以是设备，也可以是控制中心)，设第i个设备的父亲是fa[i]，使得整个网络的负担值最小。
输出fa[0]至fa[n-1]，如果答案不唯一，输出字典序最小的fa[0]至f[n-1]。
如果无法完成任务，输出-1。
如果是负担值是子树中节点个数的话，可以拆点后跑网络流,可是是负担值是儿子个数。
怎么做？
事实上，拆成二分图后还是网络流。
将每个点拆成入点与出点，出点在左边，入点在右边，每条边连两点的出点与入点。
可以二分答案出每个点最多子结点个数，超级源点连向每个出点的流量即为二分所得。
每个入点连向超级终点的流量同理。
网络流可行性判断。
T4
?
Day 5
T1
题意：可以选取任意物品，每个物品选取有截止时间与价值，一个时间只能选一个物品，求价值最大？
$ n \le 2000000 ,\sum_{}{a_i},\sum{}{b_i} \le 10^9$
贪心
按截止时间从大到小排序，每一个都放进优先队列里，每个时间弹出一个价值最大的物品。
注意，要不能枚举时间，要看时间差。
复杂度 \(O(nlogn)\)
T2
多重背包 ?
T3
线段树裸题 ?
T4
?
Day6
T1
我见过最难的T1吧
题意：给一个长度为 \(n\) 的序列，求 $ A<B<C<D,a_A \times a_B \times a_C =a_D $的个数
\(n \le 10^5,a_i \le 1000000\)
一眼没思路
\(n^4\)的做法很简单，暴力枚举即可
\(n^3\)也一样，因为 \(a_i\) 不大，可以记录，任意存一个即可。
\(n^2\)则就从中间分开，枚举前面，枚举后面，求答案即可。
T2
这不是推销员吗？
T3
题意：\(n*m\) 个点，每次可以让 $\forall i,(a,i)与(b,i) $相连或 $\forall i,(i,a)与(i,b) $相连，每连一条边有代价 \(v\) ,求最小代价?
混分做法肯定是最小生成树 \(Kruskal\)，考虑如何优化。
由于 \(Kruskal\)是按边权排序，所以同一组的边肯定排在一起。
考虑如何一次做一组的边呢？
由于求最小节省，所以考虑的是那些原本就连在一起的，或者是在前一条边做时连上的。
原本连在一起的可以用并查集维护，对于后一种，由于做了后保证完整一行或一列联通，所以只需要计数另一种操作进行了多少次即可，因为若已经连在一起，只需要做一次即可。
统计答案后输出，线性时间复杂度。
T4
?
Day 7
开始猜结论了
T1
题意：一个图，开始将一些边染成黑色，若一个点与其他点相连的边中，若仅有一条不为黑色，将此条染成黑色，求使所有边为黑色的开始最少染多少条边。
首先，染黑可以视为删去此边。
考虑极限，一棵树肯定是可以直接删完的，而多加一条边肯定不行。
所以结论出来了，删的点数即为 \(m-n+1\)
注意，题目未保证联通，所以要每个连通块处理
T2
题意：交换相邻两个数，使最终序列满足一个山峰形。
如果先将最小的数移动至最左或最右，那此数将会与后面操作无关，序列将缩减。
贪心找出最近是移动到最左还是最右。
如何找出最左/最右距离呢？
如果一个数要放到左边，那么对它的步数有影响的只会是对左边比他大的数。
右边同理。
做树状数组就好了。
时间复杂度 \(O(nlogn)\)
T3
考虑如何计算答案。
若一个v合并到u上，那么原v的方案数不变，原u的方案数乘2。
那么做 \(dfs\) 序后树状数组就好啦。
T4
?
Day 8
第一次AK
T1
一个变换看成一条边，即为找环或链。
T2
神奇的背包
T3
T4
有点水
一道 \(LCA\) 维护的东西有点多的模板题
Day 9又不见了
Day 10
T1
可以考虑以一个点为k,最左可以到哪，最右可以到哪
维护ST表，内做GCD,即查询一段区间的gcd是否整除于 \(a_k\)即可
二分查找左右边
T2
题意：给出一个集合，求其非空子集的和的中位数
对于一个集合 \(a_1,a_2,a_3,......,a_n\) 和为 \(k\) ，容易发现若有子集 \(a_k,a_{k+1},a_{k+2}......\) 的和为 \(m\),必有另一子集和为 \(k-m\)
所以序列对称。
中位数必定在平均数的后面那一个。
用 \(bitset\) 优化DP，找出来即可即可
T3
一道与动态数对点很像的CDQ
T4
??
Day 11
T1
emm……
很有趣的一道构造题
让最左下角的始终保持白，可确定先后手胜负
T2
题意：求 \(1 \le i \le n\) 中，\(i\) 中没有连续的3个1的个数。
原题?
考虑 \(f_{i,0},f{i,1},f{i,2}\) 分别表示做到第 \(i\) 个，开头没有1，一个1,2个1的个数。
可得:
\(f_{i,0}=9 \times(f_{i-1,0}+f_{i-1,1}+f_{i-1,2})\)
\(f_{i,1}=f_{i-1,0}\)
\(f_{i,2}=f_{i-1,1}\)
求出递推式，套矩阵加速，最后用总情况减去即可。
T3
题意：给出一些点，动态加点，每次询问给出一点坐标，求离此点曼哈顿距离最小的点。
又是原题？
这不天使玩偶吗？
由于曼哈顿距离有绝对值，将绝对值拆开分类讨论。
4种情况。
考虑在左下角的点对自己的贡献。
即为二维偏序。
因为有修改，为三维偏序。
做4次 \(CDQ\) 即可。
T4
题意：给出一个无向图，有修改与查询操作，每次删掉一条边或查询两点之间的割边。
又又是原题
删边容易改变树的结构，倒着考虑。
最后的形态可进行缩点，割边数为两点距离。
而加上一条边后两点间的就不存在割边了。
可以将每条边设权值为1，每次修改将一段设为0。
树链剖分，维护区间赋值，区间求和的线段树即可。
Day 12
有趣的倒序开题
T1不见了
T2
题意：给出一个 \(n\) 个节点的树，每次删除一个节点以及它的子树，求恰好删 \(i\) 次有多少种方案数，\(i \in [1,n]\) ，\(n \le 5000\)。
由于要求方案数，又有恰好删多少次，考虑树形 DP。
\(f{i,j}\) 表示第 \(i\) 个节点的子树删 \(j\) 次的方案。
即时一个树上背包了。
预处理出组合数，每次遍历完子树时乘上组合数放进背包里。
预处理组合数时间复杂度 \(O(n^2)\) ，树形 DP 时间复杂度 \(O(n^2)\) 。
可过这道题。
T3
题意：给出一个 \(n\) 点 \(m\) 边的有向无环图以及一个数 \(v\)，每条边有边权 \(e_i\) 与 长度 \(l_i\) ，求选出一条路径，满足长度和最大，且路径内相邻两条边的权值异或和 \(\le v\) ，\(n,m \le 2 \times 10^5,w,v\le 10^9\) 。
有向无环图上可以跑拓扑排序，考虑如何满足异或的限制。
可以想到 \(01trie\) 。
每次遍历到一个节点时建出一棵字典树，向外扩展时利用字典树更新答案。
时间复杂度 \(O(nlogv)\) ，可过。
T4
题意：给出一个 \(n \times n\) 的网格图，每个点指向右或上的一个位置，第 \(n+1\) 行与 \(n+1\) 列有权值，每个点能到它指向的位置，可以继续走下去，每次能改变一个点的指向，求每次的权值和，\(n\le 5000\)。
由于每个点只能指向一点且不可能指回自己，可以建树。
每次修改其实只是改变一个子树的位置，可以暴力转位置后向上加上/减去改变的权值。
时间复杂度 \(O(n^2log^2(n))\) ，每次输出答案即可。
Day 13
只能写T1了
T1
题意：给出一个三维空间，有些点不能走，求从 \(x=0,y=0\) 的平面到达某点的最短距离。
反向考虑，从目标点开始 \(bfs\) 即可。
T2
??
T3
??
T4
??
Day 14 不见啦
Day 15
T1
题意：给出 \(n\) 个数 \(a_i\)，求选出尽可能多的数使得选出的数中每两个数相加都不是质数，\(n \le 750\)。
很明显，我们可以预处理出哪些数相加是质数，选择的时候直到有哪两个数不能同时选。
对于两个不同时为1的数，若他们加起来是个质数，那么和大于2，即是奇的质数，所以两个数奇偶性肯定不同。
根据这个性质，我们可以构建二分图，左边是奇数，右边是偶数，对应连边。
所以就是找最大独立集。
跑网络流或匈牙利算法，拿 \(n\) 减去就可以得到答案。
T2
题意：给出一个 \(n \times m\) 的网格图，每个点上是空或水晶或炸弹，炸弹可以横着或竖着爆炸，消除掉行上或列上的水晶，并且引爆行或列上的炸弹，开始可以选择一个炸弹并选择方向引爆，求最多能炸掉多少水晶（\(n,m \le 3000\)）。
贪心，发现若横着引爆炸弹后再连锁引爆时横着炸，明显不是最优，所以肯定时横竖交替这样炸的。
综上所述，我们可以枚举每一个点，引爆对应的炸弹，重复的点不在搜索，找出最大值。
时间复杂度 \(O(nm)\) ，可过这道题。
T3
??
T4
??
Day 16
T1
题意：给出一个长度为 \(n\) 的字符串，每次两人从左边或右边选取一个字符加到自己的字符串的最后，最后谁的字符串字典序大谁赢，\(n\le5000\)。
一道很经典的博弈论。
设 \(f_{i,j}\) 表示字符串在区间 \([i,j]\) 内是先手必赢，后手必赢，或是平局。
若存在先手无论选那边，后手选择的比自己大，或是后手最优选择后剩下的区间是先手必败，先手输。
若存在先手选一边，后手无论选哪边都小于自己，或是剩余区间是先手必胜，先手赢。
否则，平局。
复杂度 \(O(n^2)\) ，可过。
T2
??
T3
??
T4
??
Day 17
T1
题意：给出 \(n\) 个序列，第 \(i\) 个序列有 \(m_i\) 个数，每次A可以从任一序列左边选一个数，B可以从任一序列右边选一个数，问最后谁选的和最大？
考虑 \(m_i\) 全是偶数的情况，容易发现，一方选了一个数后，另一方可以对称地选择，直接选掉另一端的一个数，这样，A选的数会在序列的左端，B选的数在右端。
统计答案直接加即可。
那有奇数呢？
很简单，谁先选了这个序列，那不变回偶数序列了吗？
那A与B怎样选择序列会最优呢？
不难发现，第一个选择只是多拿了中间那个数。
所以将所有的奇数序列按中间数的大小排个序，A与B贪心选择即可。
T2
题意：给出一个 \(n\) 点 \(m\) 边有边权的无向图，多次询问，第 \(i\) 次询问给出 \(m_i\) 个关键点，找出一个子图，使得子图中这 \(m_i\) 个点联通且子图中最大的边权最小，求最小为多少，\(n\le 100000,m \le200000,\sum m_i \le 200000\)。
由于它让最大边权最小，可以考虑 \(kruskal\) 重构树。
有 $ \sum m_i $ 可以考虑虚树。
\(kruskal\) 求出最小生成树，建出重构树，每次询问按照 \(dfn\) 序排序，询问最大值最小多少，即两两 \(LCA\) 可解决。
T3
??
T4
??
Day 18
T1
??
T2
题意：求 $ \sum_{i=0}^{n} ( a^{i} + b^{i} + c^{i} )^k $ ， \(k \le 5000\) ， \(n \le 10^9\)
将 \(( a^{i} + b^{i} + c^{i} )^k\) 拆开
得 $ \sum_{x=0}^{n} \sum_{y=0}^{n-x} C(n,x) C(n-x,y) (a^i )^x (b^i )^y (c^i )^{n-x-y} $
变成 $ \sum_{x=0}^{n} \sum_{y=0}^{n-x} C(n,x) C(n-x,y) (a^x )^i (b^y )^i (c^{n-x-y} )^i $
所以原式就是 $ \sum_{i=0}^{n} \sum_{x=0}^{n} \sum_{y=0}^{n-x} C(n,x) C(n-x,y) (a^x )^i (b^y )^i (c^{n-x-y} )^i $
调换一下 \(\sum\) 位置，变成 $ \sum_{x=0}^{n} \sum_{y=0}^{n-x} C(n,x) C(n-x,y) \sum_{i=0}^{n} (a^x )^i (b^y )^i (c^{n-x-y} )^i $
而 $ \sum_{x=0}^{n} \sum_{y=0}^{n-x} C(n,x) C(n-x,y)$ 与 \(i\) 无关，所以 $ \sum_{i=0}^{n} (a^x )^i (b^y )^i (c^{n-x-y} )^i $，可以直接求出。
观察发现， $ \sum_{i=0}^{n} (a^x )^i (b^y )^i (c^{n-x-y} )^i $ 可变成 $ \sum_{i=0}^{n} (a^x b^y c^{n-x-y} )^i $ 为等比数列，所以可以用等比数列求和公式 \(O(logn)\) 求出。
枚举 \(x,y\) ，分别累加答案。
T3
??
T4
??
Day 19
T1
大模拟再见
T2
题意：给出一个长度为 \(n\) 的序列，将其划分成 \(k\) 个区间，每个区间的价值为区间内每个数的最大值减去最小值，求 \(k=1,2,3......n\) 时，总价值最大多少，\(n \le 5000\)。
直接求解不方便，不如这样思考：选出 \(k\) 个区间，代价为里面选一个数减去另一个数，这样最大的答案等同于题目要求了。
可以很轻易的用 \(DP\) 写出来，\(f_{i,j,0/1/2/3}\) 表示对于第 \(i\) 个位置，已划分了 \(j\) 个区间，并且第 \(i\) 个数在当前区间啥也不是/作为减数/作为加数/两个都是。
转移很容易，\(n^2\) 能过。
T3
题意：\(n\) 个人，每个人有权值 \(a_i\)，\(|i-j|=|a_i-a_j|\) 的人才可以在一起，问最后全部人能不能都在一起。
首先，\(|i-j|=|a_i-a_j|\) 转化为 \(i+a_i=j+a_j\) 或 \(i-a_i=j-a_j\)
观察到每个人只能选一种转换方法，所以构造二分图。
枚举 \(1\) 至 $ n$ ，将左侧的 \(i-a_i\) 与右侧的 \(i+a_i\) ，连一条边。
这样的话，就是每条边可以给一个端点的权值 \(+1\) ，且最后每个点权值为偶数。
只需要每个连通块内的边数为偶数即可。
T4
??
Day20没了
The end
