2023 国庆CSP-J刷题营笔记整合

Day1

枚举与搜索

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枚举

例1：洛谷P1008

• 考虑枚举所有三位数，可过，然而时间复杂度高，容易枚举没写不符合题目的答案
• 可找到1:2:3条件来枚举

例2：洛谷P1217

• 枚举a-b中所有回文质数,TLE
• 枚举a-b中所有质数,TLE*2
• 枚举回文数（正解）

枚举回文数：
1. 枚举前一半（总结规律可以发现如果为质数第一位只能为1 3 7 9)
2. 判断位数奇偶
	eg:
	枚举了前一半137
	奇数：137731
	偶数：13731

• 记录数量，AC

例3：洛谷P1102
双指针算法

感觉类似莫队，就是不断缩小范围直到最小区间

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define int long long
int ans;
signed main(){
	int a[1000050],n;
	a[0]=-10000000;
	int vr,vl;
	cin>>n>>vl;
	vr=vl;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>a[i];
	sort(a+1,a+n+1);
	int j1=0,j0=0;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		
		while(a[i]-a[j0]>vr) j0++;
		while(a[i]-a[j1]>=vl) j1++;
		if(j0<j1){
			ans+=j1-j0;
			//cout<<j1<<' '<<j0<<"\n";
		}
	}
	cout<<ans;
	return 0;
}
/*
4 1 1
1 1 2 3 
*/

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搜索

搜索本质也是枚举，差别在于代码实现

全排列模型

• DFS枚举全排列
• STL大法好algorithm库的next_permutation(p+1,p+n+1)函数，且当p为字典序最大的排列时，它会返回0，否则会返回1

两种方法各有优劣，前者方便减枝，后者实现更为方便。

例1：洛谷P1219

• 枚举全排列，结束

二进制模型、集合/正整数划分模型.......

剪枝

1. 变换搜索顺序洛谷P1074
2. 可行性剪枝
3. 物品排序后搜索(没有什么道理,却能使搜索变得十分优秀。)
4. 最优性剪枝（01背包问题，但是DFS）

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Day2

数据结构

链表：

单向链表：

模版：洛谷B3631

前项星:

本质：前项星是由多个单项链表组成，维护链头数组，然后可以支持每个点加边。

struct nod
{
	int next,to;
}e[xx*2];
int cnt,h[xx];
void add(int x,int y){
	cnt++;
	e[cnt]={h[×],y};
	h[×]=cnt;
}
void dfs(int x,int y){
	for(int i=h[×];i;i=e[i].next)
		dfs(e[i].to,x);
}

洛谷P3916

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双向链表：

模版：洛谷P1160

就比单向链表多了个后继而已=_=

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栈

之所以重要，是因为它其实就是递归的逻辑结构，先进后出

STL：

stack<int>stk;
stk.push(1);
stk.pop();
cout<<stk.top()<<"\n";
cout<<stk.size()<<"\n";

洛谷B3614

单调栈

• 始终保持站内元素为单调的
• 比较下标优先

输入序列：1 4 2 3 5
栈内变化：
5
5 3
5 3 2
5 4
5 4 1

用来求第一个大于某个元素的下标

洛谷P5788

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动态数组vector

顾名思义，它的容量是变化的，是动态的数组

当内部使用的容量到达了它的上界，他的容量就会翻2倍。

如：

a={}          a.push_back(1)  0
a={1}         a.push_back(2)  1
a={1,2}       a.push_back(3)  2
a={1,2,3}     a.push_back(4)  4
a={1,2,3,4}   a.push_back(5)  8
a={1,2,3,4,5}                 16
     ...            ...

我们也可以分配内存a.resize()

也可以释放内存vector<int>().swap(a)，默认是占24字节

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队列

就是模拟现实中的排队的队列，先进先出

洛谷B3616

双端队列（deque）

就是两个头相对的队列合一块，STL是支持随机访问

然而空间是特别大的，默认分配内存有80个字节，1e6个内存总共80多MB

单调队列

洛谷P1886

原理跟单调栈类似，就是可以取队首元素可pop队首了

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堆

一种完全二叉树，可以维护一个最小值或最大值，插入数值时间复杂度为$O(lo{g}_{2}n$)，删除同

洛谷P3378

对顶堆

一个序列，我们每次加入一个元素，或者进行询问。

维护一个初始指针i=0，每次询问的时候将i=i+1然后询问第i小的值是多少。

洛谷P1801

哈夫曼树

洛谷P1090

• 每个数贡献的次数是他到根的边数。
• 数大的贡献较少，即经过的边数较少。
• 如果把边顺次标号为 0,1，则每个叶子到根的一个字符串称为哈夫曼编
  码。

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Day3

动态规划

简单DP

洛谷P1216

1.正着递推

• 可以从顶往下推
• f[i][j]=max(f[i-1][j],f[i-1][j-1])+a[i][j];

2.倒着递推

• 从下往上推
• f[i][j]=max(f[i+1][j],f[i+1][j+1])+a[i][j];

背包DP

给定n个价值为$V_i$，体积为$W_i$的物品，你有一个容积为M的背包，求怎样装物品才能使价值之和最大。

采药

洛谷P5664

洛谷P5665

区间DP

洛谷P1430

• f[l][r]表示还剩下[l,r]的数，我们先手获得的最大价值==后手获得的最大价值
• 可以直接深搜

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Day4

图论

概念

树：

• 无环
• 连通
• U,V之间唯一一条路

有向无环图（DAG）：

• 可以进行拓扑排序
• 可以进行DP
• 都为二分图

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树

树的储存：

• 记录每个点的父亲
• 每个点存他的儿子
• 当成图来存

树的名词：

• 子树
• 深度
• 路径
• 直径：距离最大的一对点之间的距离为多少
• 重心：以一个点为根，左子树的点和右子树的相等则称该点为一棵树的重心

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二叉树

• 每个点最多有两个儿子
• 二叉树的先序遍历为它的DFS顺序

完美二叉树：每个点都有两个儿子

完全二叉树：点n的父亲为n/2,点的儿子为2n、2n+1

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DAG最短/长路

直接BFS即可

序

序：

• 传递性（a>=b,b>=c,a>=c)
• 自反性(a<=b,b<=a,a=b)
• 反对称性(a+b=c,c+b≠a)

正序：所有序都可比较

偏序：不是所有序都可比较，但是满足序的三个性质

DAG所有点默认都是偏序

二分图

染色（把一个图染成黑白两色，让着图边两端颜色都不同）：只需BFS一遍即可

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Day5

贪心

就是局部最优解，看哪个最好选哪个

正确性证明：

1. 数学归纳法

例1：

• 定义一个函数f[i]表示取i个线段，最右端最小是多少
• 变换过程中最优解不变

例2：

• f[i]:1~i时间前有多少教师
• g[i]:1~i时间最多的同时讲座的数量
• h[i]=i时间同时讲座的数量
• f[0]=0=g[0]
• 往i区间里放,f[i-1]=g[i-1]>=h[i-1]
• 能放得进去,f[i-1]=f[i],g[i-1]=g[i]>h[i]。
• ∴f[n]=g[n]

2.归纳法

3.交换论证

• 任何最优解都可以可以变成贪心的最优解，
• 变换过程中最优解不变

例题：国王游戏

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数学

矩阵

矩阵乘法

省略

矩阵加速递推

• f1=f2=0
• $f_n=7f_{n-1}+6f_{n-2}+5n+4\times 3^n$
• 求$f_n$

高斯消元

特点：

• 两方程互换，解不变；
• 一方程乘以非零数 k，解不变；
• 一方程乘以数 k 加上另一方程，解不变。

例：

$\{\begin{array}{l}7x_1+8x_2+9x_3=13\\ 4x_1+5x_2+6x_3=12\\ x_1+2x_2+3x_3=11\end{array}$

• 7 8 9==13 → 1 0 04
• 4 5 6==12 → 0 1 05
• 1 2 3==11 → 0 0 16

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取模（mod)

$100\equiv 1\mathrm{mod}9$

$\equiv$：模运算下的等价

逆元

定义：

• 假设p是一个质数，且$(a,p)=1$,$a\ast b=1(modp)\mathrm{求}b$
• b类似于a的倒数?
• 也就是说，乘上—个b和除以一个a的效果是一样的b称作a的逆元，记作$b=a^{-1}$
• $c/a=c\ast a^{-1}(\mathrm{mod}p)$

求：

• 费马小定理
• 如果p为质数，且(a,p)=1;
• 则$a^{p-1}\equiv (1\mathrm{mod}9)$

其他

埃拉托斯特尼筛法

• 求1~n所有素数
• O(nlogn)
• 从小到大枚举数把他的倍数筛去

卡特兰数：

1,1,2,5,14

公式：

$$H_n={\displaystyle \left(\begin{array}{c}2n\\ n\end{array}\right)-\left(\begin{array}{c}2n\\ n-1\end{array}\right)}$$

• 只要让你输出单个数字的题,暴力程序发现前几个结果为上面的数列
• 可以试着直接输出卡特兰数。

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Day6

分治

• 分而治之，就是把一个复杂问题分解为多个简单的子问题来解决
• 限制为复杂问题要可分

应用：

归并排序：

基本流程：

sort(l,r);
mid
sort(l,mid);
sort(mid+1,r);
marge(l,mid,r);

逆序对

基本流程：

solve(l,r);
mid
ans+=solve(l,mid);
ans+=solve(mid+1,r);
void solve:
	a    b
	a[i]>b[j]

区间max之和、最大字段和....

时间复杂度：

最大字段和：T(n)=2T(n/2)+O(n)=O(nlogn)

区间max之和：T(n)=2T(n/2)+O(1)

例题：
洛谷P1966

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二分

二分查找

简介：

• 一种查找数组元素的方法
• 数组必须有序
• 时间复杂度O(log(n))

STL

• lower_bound:找到数组中第一个大于等于x的下标，返回一个地址
• upper_bound：用法同lower_bound
• binary_search:二分查找一个元素，返回bool值

板子：洛谷P2249

例题：洛谷P1102

• 可以使用第一天的双指针算法

• 排序后也可以二分查找

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二分答案

简介：

• 对答案进行二分查找

• 要有一个明确的（答案）界限，如2 1 3 5 6可以二分(界限为4）

例题：洛谷P1873
洛谷P2440
洛谷P1024
洛谷P2678

while(l<=r){
	ull mid=(r+l)/2;//l+(r-l)/2或l+r>>1
	if(check(mid)){
		l=mid+1;
	}else{
		r=mid-1;
	}
}
cout<<r;

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分数规划

oi-wiki

简介：

• 每种物品有两个权值 a 和 b，选出若干个物品使得 ${\displaystyle \frac{\sum a}{\sum b}}$最小/最大。

• 假设我们要求最大值。二分一个答案 mid，然后推式子（为了方便少写了上下界）：

• ${\displaystyle \begin{array}{rl}& \frac{\sum a_i\times w_i}{\sum b_i\times w_i}>mid\\ ⟹& \sum a_i\times w_i-mid\times \sum b_i\cdot w_i>0\\ ⟹& \sum w_i\times (a_i-mid\times b_i)>0\end{array}}$

• 那么只要求出不等号左边的式子的最大值就行了。如果最大值比 0 要大，说明 mid 是可行的，否则不可行。

• 求最小值的方法和求最大值的方法类似.

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倍增

树上祖先：

• 设f[i][j]为i往上跳$2^j$步
• ∴f[i][j]=f[f[i][j-1]][j-1]
• （↑的意思：跳$2^j$步，需要跳$2^{j-1}+2^{j-1}$步）

上面就是倍增的思想

LCA

• 求树上两个点最近的公共祖先

• 暴力一步一跳到自己一级祖先容易超时

• 可以用倍增思想来跳

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作者：d$i$en$t$er