开灯关灯问题

http://www.cnblogs.com/haolujun/archive/2012/10/10/2719031.html

 

 

有编号1~100个灯泡，起初所有的灯都是灭的。有100个同学来按灯泡开关，如果灯是亮的，那么按过开关之后，灯会灭掉。如果灯是灭的，按过开关之后灯会亮。

现在开始按开关。

第1个同学，把所有的灯泡开关都按一次(按开关灯的编号： 1,2,3,......100)。
第2个同学，隔一个灯按一次(按开关灯的编号： 2,4,6,......,100)。
第3个同学，隔两个灯按一次(按开关灯的编号： 3,6,9,......,99)。
......

问题是，在第100个同学按过之后，有多少盏灯是亮着的？

这个问题有一个数学上的解决方法。可以看出，被按了奇数次的灯泡应该是亮着的，被按了偶数次的灯泡应该是灭的。那么什么样的灯泡被按了奇数次？什么样的灯泡又被按了偶数次呢？从按的过程可以发现，如果一个灯泡的编号具有偶数个因子，那么该灯泡就被按了偶数次，反之按了奇数次。现在的问题又变成，什么样的编号具有奇数个因子，什么样的编号具有偶数个因子？这涉及到一个叫做质因数分解的定理，大概的意思是说，任何正数都能被唯一表示成多个质因数幂次乘积的方式。

例如:

14=2*7
50=2*5^2
...
100=2^2*5^2

也就是N=(p[1]^e[1])*(p[2]^e[2])*......*(p[k]^e[k])，其中p[i]是质数，e[i]是p[i]的幂次。而由这个公式我们又可以导出一个数有多少个因子的计算公式:FactorNumber(N)=(e[1]+1)*(e[2]+1)*......*(e[k]+1)。

那么什么条件下满足FactorNumber(N)是奇数呢？显然必须所有的e[1],e[2],......,e[k]都必须是偶数，这样才能保证e[i]+1是奇数，结果乘积才能是奇数。而由于e[1],e[2],......,e[k]都是偶数,那么N一定是一个完全平方数(因为sqrt(N)=(p[1]^(e[1]/2))*(p[2]^(e[2]/2))*......*(p[k]^(e[k]/2))是整数) 。回到按灯泡的问题上来，1~100中完全平方数有1,4,9,16,25,36,49,64,81,100这10个数，也就是说最后只有编号为这10个数的灯是亮着的。

 

 

这里解释一下 FactorNumber(N)=(e[1]+1)*(e[2]+1)*......*(e[k]+1)。为什么F(N)等于所有的e(i)+1 相乘，

 

对n进行质因数分解。不失一般性，假设n=x^a * y^b * z^c * ……. x^a表示x的a次幂。 那么n的约数相当于x取（0次幂，1次幂，……，a次幂），y取（0次幂，1次幂，……，b次幂），z取（0次幂，1次幂，……，c次幂），……。其约数的个数等于(a+1)*(b+1)*(c+1)*……。当所有的指数都为0是，约数为1，当所有的指数取最大时，为n本身。

 

若想使约数的个数为奇数，则a，b，c，……必须均为偶数，也就是说n必须是完全平方数。

 

 

20 = 1*2^2*5^1；

20 = 1*20=2*10=4*5都是成对出现的，20的约束的个数= 3(2的指数+1) *2(5的指数+) = 6 

36 = 1*36=2*18=3*12=4*9=6*6 完全平方数不是成对出现的，而是有单数出现。

 

 

~正如一楼所言，这个题就是考察1~100每个数字的因子数的奇偶性。有奇数个因数的灯状态和初始状态相异，反之，因数是偶数个的，灯的状态不变。举两个例子：2号灯有1和2两个因数（2=12），所以开关两次，等状态不变；4号灯有1、2、4三个因数，（4=14=22）按三次，和初始状态不同，即一开始灯是灭着的，按完三次灯就亮了。 
为什么举这两个例子呢？是有道理的，呵呵。我们注意到，每个数字的因数都是成对出现的，比如每个数字都至少有1和它本身（1是特例，1就是它本身）两个因数，再比如36的因数1和36，2和18，3和12，4和9，都是成对出现的。所以，当且仅当，某个数字中成对出现的两个因数相同时，（比如上面的例子4有22这对因子），即这个数字可以被开方是整数时，它的因子个数才会变为奇数。 
所以可以有下面的结论，开方结果是整数的数（灯），最后是亮的，也就是说号码为1的平方、2的平方、3的平方……10的平方的灯，即号码为1、4、9、16、25、36、49、64、81、100的灯，这10展灯是亮的。