相遇（容斥+最短路+分类，水紫）

https://www.luogu.com.cn/problem/AT_arc090_c

给定一个有n个节点m条边的无向图，在某一时刻节点st上有一个动点a, 节点end上有一个动点b, 动点a向节点end方向移动，要求是尽快到达end点，与此同时，动点b向节点st方向移动，要求是尽快到达st点，但是整个过程中a和b不能相遇，问两点不相遇一共有多少种方案。

不相遇是指在同一时刻两点都不在同一节点或同一边上。结果可能很大，对1e9+7取模

输入格式

第一行两个整数n和m

第二行两个整数st和end

接下来m行，每行三个整数u,v,t，表示u和v有一条长为t的边

其中1<=n<=1e5, 1<=m<=2e5,1<=t<=1e9

数据不存在重边和自环

输出格式

一个整数

输入/输出例子1

输入：

4 4

1 3

1 2 1

2 3 1

3 4 1

4 1 1

输出：

样例解释

无

直接求不相遇比较难，用减法原理。

很容易想到，首先要搞一个最短路计数。

dis[i]:s->i最短路，cnt[i]：s->i的最短路路径数
dis2[i]:t->i最短路，cnt2[i]：t->i的最短路路径数

用全部方案-相遇方案，就是答案

全部方案：最短路径条数平方。也就是 cnt[t]*cnt[t]（cnt2[s]*cnt2[s] 也行）

相遇是在节点上相遇或者边上相遇

分别算就好

判断能否在u节点相遇：

枚举每个点，看看能否在点上相遇

条件：看看dis[s->u]是否等于dis[t->u]，且s-u + t-u 是最短路

贡献：(cnt[u]*cnt2[u])^2

计算如下：

假设s到u有3条路可以走，t到u也有3条路可以走

那么我们可以考虑让s走第1条，走到t可以分别走3条。

我们还可以考虑让s走第2条，走到t可以分别走3条。

我们还可以考虑让s走第3条，走到t可以分别走3条。

所以就是 cnt[u]*cnt2[u]

但是我们还可以反过来，从t走，走到s

那么我们可以考虑让t走第1条，走到s可以分别走3条。

我们还可以考虑让t走第2条，走到s可以分别走3条。

我们还可以考虑让t走第3条，走到s可以分别走3条。

所以就是 cnt[u]*cnt2[u]

那么答案就是这俩相乘。

边上相遇：

枚举每条边，是否会在那条边相遇。

条件：这条边在最短路上。 s-u+w+t-v 是最短路

还有两个条件：

dis[s->u]+w>dis[t->v]

dis[s->v]+w>dis[t->u]

这里第二个条件类似第一个条件，就是u，v换了下而已。

举个例看看：

比如：u->v，也就是 w=3，v->t=6，也就是dis[v->t]=6

如果dis[s->u]是3，就或在6这个地方相遇，也就是v号点。（也就是说dis[s->u]+w = dis[v-t]是不行的）

那如果此时调整一下dis[s->u]，我们减小一下，改成dis[s->u]是2，会在5.5这个地方相遇，那么这个时候会超过v （也就是说dis[s->u]+w<dis[v-t]是不行的）

再改，dis[s->u]是4，会在6.5这个地方相遇，刚好在v里面。（也就是说 dis[s->u]+w>dis[v-t]是可行的）

也就是说，一个人走过这条边之前，另一个人必须至少走上这条边。

贡献：(cnt[s-u]*cnt[t-v])^2

和计算点的贡献是一样的。

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#include <bits/stdc++.h>
#define int long long
using namespace std;
const int N=200005, Mod=1e9+7;
 
struct node
{
    int v, w;
    bool operator <(const node &A) const
    {
        return w>A.w;
    };
};
struct node2
{
    int u, v, w;
}ask[N];
int n, m, s, t, u1, v1, w1;
int dis[N], vis[N], cnt[N], dis2[N], vis2[N], cnt2[N], ans=0, sum=0;
vector<node> a[N];
priority_queue<node> q, q2; 
void dij()
{
    memset(dis, 63, sizeof dis);
    memset(vis, 0, sizeof vis);
    dis[s]=0, cnt[s]=1;
    q.push({s, 0}); 
     
    while (!q.empty())
    {
        int u=q.top().v;
        q.pop();
          
        if (vis[u]) continue;
        vis[u]=1;
         
        for (int i=0; i<a[u].size(); i++)
        {
            int v=a[u][i].v, w=a[u][i].w;
            if (dis[v]>dis[u]+w) 
            {
                dis[v]=dis[u]+w;
                q.push({v, dis[v]}); 
                 
                cnt[v]=cnt[u]%Mod;
            }
            else if (dis[v]==dis[u]+w) cnt[v]=(cnt[v]+cnt[u])%Mod;
        }
    }
}
void dij2()
{
    memset(dis2, 63, sizeof dis2);
    memset(vis2, 0, sizeof vis2);
    dis2[t]=0, cnt2[t]=1;
    q2.push({t, 0}); 
      
    while (!q2.empty())
    {
        int u=q2.top().v;
        q2.pop();
          
        if (vis2[u]) continue;
        vis2[u]=1;
         
        for (int i=0; i<a[u].size(); i++)
        {
            int v=a[u][i].v, w=a[u][i].w;
            if (dis2[v]>dis2[u]+w) 
            {
                dis2[v]=dis2[u]+w;
                q2.push({v, dis2[v]}); 
                cnt2[v]=cnt2[u]%Mod;
            }
            else if (dis2[v]==dis2[u]+w) cnt2[v]=(cnt2[v]+cnt2[u])%Mod;
        }
    }
}
signed main()
{
    scanf("%d%d%d%d", &n, &m, &s, &t);
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        scanf("%d%d%lld", &u1, &v1, &w1);
        a[u1].push_back({v1, w1}); 
        a[v1].push_back({u1, w1}); 
        ask[i]={u1, v1, w1};
    }
    dij();
    dij2();
     
    sum=dis[t];
    ans=cnt[t]*cnt[t];
     
    for (int i=1; i<=n; i++)
        if (dis[i]==dis2[i] && dis[i]+dis2[i]==sum) ans=((ans-(cnt[i]*cnt[i]%Mod*cnt2[i]%Mod*cnt2[i]%Mod))+Mod)%Mod;
    //printf("%lld\n", ans%Mod);
     
    for (int i=1; i<=m; i++)
    {
        int u=ask[i].u, v=ask[i].v, w=ask[i].w;
        if (dis[u]+w+dis2[v]==sum && dis[u]+w>dis2[v] && dis2[v]+w>dis[u]) ans=((ans-cnt[u]*cnt[u]%Mod*cnt2[v]%Mod*cnt2[v]%Mod)+Mod)%Mod;
        swap(u, v);
        if (dis[u]+w+dis2[v]==sum && dis[u]+w>dis2[v] && dis2[v]+w>dis[u]) ans=((ans-cnt[u]*cnt[u]%Mod*cnt2[v]%Mod*cnt2[v]%Mod)+Mod)%Mod;
    }
     
    printf("%lld", ans%Mod);
    return 0;
}

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本文作者：cnsdsg886-帥
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