掷骰子（概率+动态规划）

第1题掷骰子查看测评数据信息

玩家A和B正在玩骰子游戏。

A骰子有6个面，第i个面的点数是sideA[i]。

B骰子有6个面，第i个面的点数是sideB[i]。

玩家A总共掷X次A骰子，每次掷骰子得到的面都是1/6的概率。

玩家B总共掷Y次B骰子，每次掷骰子得到的面都是1/6的概率。

玩家最终的总得分就是每次掷骰子得到的点数的总和。

计算玩家A赢得游戏的概率，即玩家A总得分高于玩家B的总得分的概率。

输入格式

组测试数据。

第一行，一个整数G，表示有G组测试数据。 1 <= G <= 10

每组测试数据格式：

第一行，两个整数，X 和 Y。1 <= X,Y <= 200。

第二行，6个整数，第i个整数是sideA[i]。 1 <= sideA[i] <= 100。

第三行，6个整数，第i个整数是sideB[i]。 1 <= sideB[i] <= 100。

输出格式

共G行，共G行，每行一个实数，误差不超过0.0001。

输入/输出例子1

输入：

1 1

1 2 3 4 5 6

200 200

1 3 8 18 45 100

1 4 10 21 53 100

2 3

1 1 1 2 2 2

1 1 1 1 1 1

200 200

6 5 4 3 2 1

3 4 6 5 1 2

100 199

1 1 1 1 1 2

1 1 1 1 1 1

1 1

1 2 1 2 1 2

2 1 2 1 2 1

200 80

1 3 8 18 45 100

1 4 10 21 53 100

100 100

1 3 5 10 15 20

9 9 9 9 9 9

100 100

7 8 9 9 10 11

1 3 5 10 15 20

10 1

1 2 3 4 5 6

59 70 80 90 95 100

输出：

0.41666666666666663

0.25240407058279035

0.25

0.49416239842107595

1.5306467074865068E-78

0.25

0.9999999976160046

0.4943375131579816

0.49968090996086173

2.7563619479867007E-9

样例解释

无

可以考虑动态规划解决此问题，因为可以分为每个阶段求解，而且是相关联的，可以推一下

先考虑状态，这题至少要有2个重要条件，一个是掷的骰子数，一个是得到的分数。于是我们用 f[i][j]表示A掷了i次，得到j分，g[i][j]表示B掷了i次，得到j分

状态搞好了，我们考虑一下怎么算答案呢，很简单。假设A，B分别掷10，20次骰子，A得900分，赢得比赛，那么B只能是899~1分（每个骰子最少标有1分，所以是1分），那么我们得到结果（概率相乘）

f[10][900]*(g[20][899]+g[20][898]+g[20][897]+....+g[20][1]

但是这样算出来有点慢，于是前缀和处理g数组结果

假设A的20000分，概率0.03。那么总结果（只要A比B分数高即可，但是分数不知道，所以从最大分开始找）是

f[x][20000]*(g[y][19999]+....+g[y][1]) +

f[x][19999]*(g[y][19998]+....+g[y][1]) +

..... +

f[x][2]*g[y][1]

考虑转移方程，假设A掷了x次，得1000分

f[x][1000]=1/6*f[x-1][1000-sizeA[1]]+ 1/6*f[x-1][1000-sizeA[2]] + 1/6*f[x-1][1000-sizeA[3]] .....+ 1/6*f[x-1][1000-sizeA[6]]

那么掷的次数肯定是外循环，跟这个次数有关系，且是从小到大（先知道小的才能知道大的）

然后内循环也是从小到大（1....20000）（先知道小的才能知道大的）

#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
 
const int N=205, M=20005;
int t, x, y, a[10], b[10];
double f[N][M], g[N][M], ans=0;
int main()
{
    scanf("%d", &t);
    while (t--)
    {
        ans=0;
        memset(f, 0, sizeof f);
        memset(g, 0, sizeof g);<br>
        scanf("%d%d", &x, &y);
        for (int i=1; i<=6; i++) 
            scanf("%d", &a[i]);
        for (int i=1; i<=6; i++) 
            scanf("%d", &b[i]);
         
        f[0][0]=g[0][0]=1; //边界定为1，原因是掷0次得到0的概率是100%的，且跟之后的循环有关系，想要f[1][a[i]]=1/cnta（防止重复，cnta是不重复的骰子标的数），这里必须是赋值1
        for (int i=1; i<=x; i++)
            for (int j=1; j<=20000; j++)
                for (int k=1; k<=6; k++)
                    if (j>=a[k]) f[i][j]+=1/6.0*f[i-1][j-a[k]]; //转移方程
         
        for (int i=1; i<=y; i++)
            for (int j=1; j<=20000; j++)
                for (int k=1; k<=6; k++)
                    if (j>=b[k]) g[i][j]+=1/6.0*g[i-1][j-b[k]];
         
        for (int i=1; i<=20000; i++) //前缀和处理
            g[y][i]+=g[y][i-1];
        for (int i=1; i<=20000; i++)
            ans+=f[x][i]*g[y][i-1]; //记答案，知道掷的总次数，但是要枚举分数（因为不知道，都有可能）
         
        printf("%.16lf\n", ans);
    }
    return 0;
}

ljx：（https://www.luogu.com.cn/blog/ljxsdsg886/zhi-tou-zi）

看完题目后，如果没有思路，那就直接DP吧

总结了初步的dp之后，发现dp的下标都跟题目的未知量有关，比如这题的题目未知量是得分和次数，而本题有两个次数，所以有两个dp数组。想一想这题的状态转移方程，那么f[i][j]表示掷骰子i次可以的到j得分的概率，那么是不是我上一次可以掷到j-sideA[i]，然后这一次掷sideA[i]就可以得到这个j分了，那么想要在这一次得到sideA[i]，有1/6的概率的得到sideA[i]，所以我们就得到转移方程式：

f[i][j]+=f[i-1][j-a[k]]*(1.0/6.0);

其实关键的代码只有这一行，不过......

DP初始化还是很重要的

我们这一题的DP数组初始化，首先想到当我掷0次是得到0分的概率，这还用说嘛，不就是1吗，所以初始化应为f[0][0]=1。

好了，我知道你们“像小猫一样粘着”我的代码，那就来吧！！！

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
int g,a[10],b[10],maxa=INT_MIN,maxb=INT_MIN;
double f[200][20000],f2[200][20000],sumb[200][20000],ans=0.0;
//注意要准备两个DP数组：f和f2，因为分别为X 和 Y的dp数组
int main(){
    scanf("%d",&g);
    while(g--){
        int x,y;
        maxa=maxb=INT_MIN;
        memset(f,0,sizeof f);
        memset(f2,0,sizeof f2);
        scanf("%d%d",&x,&y);
        for(int i=1;i<=6;i++){
            scanf("%d",&a[i]);
            maxa=max(maxa,a[i]);
        }
        for(int i=1;i<=6;i++){
            scanf("%d",&b[i]);
            maxb=max(maxb,b[i]);
        }
        maxa*=x;
        maxb*=y;
        ans=0.0;
        f[0][0]=f2[0][0]=1.00;
        for(int i=1;i<=x;i++){
            for(int j=1;j<=maxa;j++){
                for(int k=1;k<=6;k++){
                    f[i][j]+=f[i-1][j-a[k]]*(1.0/6.0);
                }
            }
        }
        for(int i=1;i<=y;i++){
            for(int j=1;j<=maxb;j++){
                for(int k=1;k<=6;k++){
                    f2[i][j]+=f2[i-1][j-b[k]]*(1.0/6.0);
                }       
            }
        }
        for(int i=1;i<=maxa;i++){
            for(int j=1;j<i;j++){//因为j的分数一定要比i的分数小（不明白的自己看题目要求什么）
                ans+=f[x][i]*f2[y][j];
            }
        }
        printf("%.16lf\n",ans);
    }
    return 0;
}

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本文作者：cnsdsg886-帥
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