ST表（Sparse Table，稀疏表）

ST表（Sparse Table，稀疏表）

主要用来解决 RMQ，可重复贡献问题 问题，相比于线段树，ST表能够做到在 \(O(n\log n)\) 的时间内预处理，以 \(O(1)\) 的速度查询

基于倍增算法，预处理每个区间，这里以维护区间最大值为例

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原理是利用倍增法递推，用两个等长的小区间拼凑大区间

记 $f_{i,j} $ 为以 \(a_i\) 为左端点，区间长度为 \(2^j\) 的区间中的最大值，那么满足递推式

\[f_{i,j}=max(f_{i,j-1},f_{i+2^{j-1},j-1}) \]

for (int i=1;i<=n;i++) f[i][0]=a[i];
for (int j=1;j<=maxlg;j++)//maxlg表示不大于n的最大2次幂的指数
	for (int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++)
		f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]); 

\(f_{i,j}\) 中第二维 \(j\) 的大小通过 \(\log_2n\) 计算，可以增加记忆数组 \(lg_{i}\) ，用来存储区间长度（速度可能比 log() 快？）

lg[1]=0;
for (int i=2;i<=n;i++) lg[i]=lg[i>>1]+1;//递推计算不大于i的最大2次幂的指数

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查询时，从 \([l,r]\) 两端出发，分别延伸出 \(lg_{r-l+1}\) 的区间长度，可以证明，这两段一定能覆盖完整个区间

左区间为 \([l,l+2^{lg_{r-l+1}}]\) ，右区间为 \([r-2^{lg_{r-l+1}}+1,r]\)

记 \(k=lg_{r-l+1}\):

\[ans=max(f_{l,k},f_{r-2^k+1,k}) \]

cin>>l>>r;
int k=lg[r-l+1];
cout<<max(f[l][k],f[r-(1<<k)+1][k]);//位运算加速

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以洛谷P2880为例

// Problem: P2880 [USACO07JAN] Balanced Lineup G
// Contest: Luogu
// URL: https://www.luogu.com.cn/problem/P2880
// Memory Limit: 512 MB
// Time Limit: 1000 ms
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// Powered by CP Editor (https://cpeditor.org)
 
#include<bits/stdc++.h>
#define cintie ios::sync_with_stdio(false);cin.tie(0);cout.tie(0);
#define Trd int T;cin>>T;while (T--)solve();
#define LLinf 9e18;
#define Iinf 2e9
#define LL long long
#define Lc p<<1
#define Rc p<<1|1
#define lc(x) tr[x].ch[0]
#define rc(x) tr[x].ch[1]
 
using namespace std;
 
int n,q;
int lg[180010];
int f[180010][18];
int p[180010][18];
 
int main()
{
	cin>>n>>q;
	for (int i=1;i<=n;i++){
		cin>>f[i][0];
		p[i][0]=f[i][0];
	}
	for (int i=2;i<=n;i++) lg[i]=lg[i>>1]+1;
	for (int j=1;j<=lg[n];j++){
		for (int i=1;i+(1<<j)-1<=n;i++){
			f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i+(1<<(j-1))][j-1]);
			p[i][j]=min(p[i][j-1],p[i+(1<<(j-1))][j-1]);
		}
	}
	while (q--){
		int a,b;
		cin>>a>>b;
		int k=lg[b-a+1];
		cout<<max(f[a][k],f[b-(1<<k)+1][k])-min(p[a][k],p[b-(1<<k)+1][k])<<endl;
	}
	return 0;
}