最长公共子序列LCS 笔记

最长公共子序列LCS 笔记

假设存在两个相同长度平凡的序列，我们希望找到它们最长的公共子序列，在没有其他特殊条件的情况下，利用动态规划计算的时间复杂度为 \(O(n^2)\) ，并且可以记录这个子序列

考虑两个指针作用于两个序列上，记 \(dp_{i,j}\) 表示为连续子序列 \([a_1,a_i]\) 与 \([b_1,b_j]\) 上的最长公共子序列的长度

两个指针当前指向的元素存在两种可能性：

• \(a_i=b_j\) ，说明 \(a_i,b_j\) 都能存在于要找的公共子序列中，状态转移为

  \[dp_{i,j}=dp_{i-1,j-1}+1 \]

• \(a_i\ne b_j\) ，有两种可能

  • \(a_i\) 不在公共子序列中，\(dp_{i,j}=dp_{i-1,j}\)
  • \(b_j\) 不在公共子序列中，\(dp_{i,j}=dp_{i,j-1}\)

  两种可能合并后，当前的 \(dp_{i,j}\) 取最优解，状态转移为

  \[dp_{i,j}=max(dp_{i-1,j},dp_{i,j-1}) \]

最后考虑边界情况，即当 \(i=0,j=0\) 时，\(dp_{i,j}=0\) ，这意味着一个序列没有元素时无法找出公共子序列

dp[0][0]=0;
for (int i=1;i<=m;i++){
	for (int j=1;j<=n;j++){
		if (a[i]==b[j]) f[i][j]=f[i-1][j-1]+1;
		else f[i][j]=max(f[i][j-1],f[i-1][j]);
	}
}

---

如果需要记录所选的最长公共子序列，则要添加一个前驱数组 \(p\)，表明状态的转移方向

for (int i=1;i<=m;i++){
	for (int j=1;j<=n;j++){
		if (a[i-1]==b[j-1]){
			dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
			p[i][j]=1;
		}else if (f[i][j-1]>f[i-1][j]){
			f[i][j]=f[i][j-1];
			p[i][j]=2;
		}else{
			f[i][j]=f[i-1][j];
			p[i][j]=3;
		}
	}
}

将两个序列拆分后，分别为表格的长宽

\(p=1，2，3\) 分别表示状态转移的方向，左上方，左边，上边

最后通过依次倒序访问 \(p\) 数组，根据 \(p_{i,j}\) 移动游标，得到公共子序列

int i=m,j=n,k=dp[m][n];
vector<char> s(k+10);
while (i>0&&j>0){
	if (p[i][j]==1){
		s[k--]=a[i-1];//记录公共子序列
		i--;
		j--;
	}else if (p[i][j]==2)
		j--;//移动游标
	else
		i--;
}
for (int i=1;i<=k;i++)
	cout<<s[i];