可持久化权值线段树（主席树）笔记

可持久化权值线段树（主席树）笔记

区别于普通线段树，权值线段树维护的信息不同

• 普通线段树：节点区间是序列的下标区间，维护区间最值，区间和等信息
• 权值线段树：节点区间是序列的值域，维护值域内数出现的次数

*图片引自董晓算法

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给定一个区间，询问该区间内的第 \(k\) 小值是多少，暴力的方案就是每次都开一颗线段树，由于空间受限我们并不能这样做

一种可行且有效的办法就是建立主席树，保存每次插入时的历史版本，下一次直接从这个版本上衍生节点即可

#define lc(x) tr[x].ch[0]
#define rc(x) tr[x].ch[1]
 
struct node{
	int ch[2];//左右儿子
	int s;//记录值域内的元素个数
};
 
int n,m;
int a[N];
node tr[N*22];//建议开到log^2(n)的大小
int root[N],idx;

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首先是建树过程，与线段树类似，递归创建值域 \([1,n]\) 内的各个节点，以及对节点进行编号

build(root[0],1,n);
 
void build(int &x,int l,int r){
	x=++idx;//更新编号
	if (l==r) return;//递归出口
	int m=l+r>>1;
	build(lc(x),l,m);//递归建立左子树
	build(rc(x),m+1,r);//递归建立右子树
}

需要对 \(x\) 传入引用，即进行写入操作，更改节点原有值

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插入操作，建立主席树，递归创建各个版本的线段树

insert(root[i-1],root[i],1,n,v);
 
void insert(int x,int &y,int l,int r,int v){//插入v
	y=++idx;//对节点进行编号
	tr[y]=tr[x];//复制上个版本的信息到当前版本
	tr[y].s++;//因为插入了一个数，所以该值域内的元素个数加1
	if (l==r) return;
	int m=l+r>>1;//二分
	if (v<=m) insert(lc(x),lc(y),l,m,v);//依然传入上个版本的儿子与当前版本的引用
	else insert(rc(x),rc(y),m+1,r,v);
}

x 传入的是上一个版本的线段树的内容，不引用进行只读操作，y 传入的是当前版本来进行建树，写入操作

同样的 lc(x) 与 lc(y) 相当于两个指针，前者指向上一个版本，后者指向当前版本，进行同步搜索

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查询操作，查询区间 \([l,r]\) 内的第 \(k\) 小

考虑普通情况：查询区间 \([1,r]\) 内的第 \(k\) 小，那么找到插入 \(r\) 时的版本在树上进行搜索即可

那么求 \([l,r]\) 上的第 \(k\) 小，可以采取类似前缀和的处理方式，分别查询 \([1,l-1]\) 与 \([1,r]\) 的信息，做差即可

query(root[l-1],root[r],1,n,k);
 
int query(int x,int y,int l,int r,int k){
	if (l==r) return l;
	int m=l+r>>1;
	int s=tr[lc(y)].s-tr[lc(x)].s;
	if (k<=s) return query(lc(x),lc(y),l,m,k);
	else return query(rc(x),rc(y),m+1,r,k-s);//减去左子树值域内增加元素的个数
}

其中 int s=tr[lc(y)].s-tr[lc(x)].s; 计算的是两个版本节点对应左子树值域内元素的增加个数

如果左子树值域内增加的个数小于等于我们需要求的第 \(k\) 小，那么这个元素必然在左子树值域内增加的元素中

如果左子树值域内增加的个数大于我们需要求的第 \(k\) 小，那么这个元素必然在右子树值域内增加的元素中

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考虑需要处理的数值值域较大但数量较少时，可以采取离散化的操作，一一映射下标

vector<int> v;
 
for (int i=1;i<=n;i++){
	cin>>a[i];
	v.push_back(a[i]);
}
sort(v.begin(),v.end());//从小到大排序
v.erase(unique(v.begin(),v.end()),v.end());//去重
 
int getid(int x){//得到离散化后的值，一一映射关系
	return lower_bound(v.begin(),v.end(),x)-v.begin()+1;
}

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主席树查询区间内小于等于 \(k\) 的元素个数

int rankquery(int x,int y,int l,int r,int k){
    if (r<=k) return tr[y].s-tr[x].s;//如果k比区间内所有值都要大，那么直接返回区间内元素总数
    if (l>k) return 0;//如果k比区间内所有值都要小，那么直接返回区间内元素总数
    int m=l+r>>1;//二分
    return rankquery(lc(x),lc(y),l,m,k)+rankquery(rc(x),rc(y),m+1,r,k);//递归左右子树搜索
}