数论基础E

数论基础E

同余式

如果两个整数 \(a,b\) 对 \(m\) 取余的余数相同，则 \(a,b\) 模 \(m\) 同余，记作 \(a\equiv b(mod\ m)\)

乘法逆元

若两个整数 \(a,b\) 互质，且满足同余方程 \(a\cdot x\equiv 1(mod\ b)\) ，则定义 \(x\) 为 \(a\ mod\ b\) 的乘法逆元，记作 \(a^{-1}\)

例如：\(4x\equiv1(mod\ 5)\) 可以解得 \(x=4,9,14\cdots(4+5\lambda)\) ，一般取小于 \(b\) 的乘法逆元方程的特解

费马小定理

若 \(p\) 为质数，且 \(a,p\) 互质，则满足同余式 \(a^{p-1}\equiv1(mod\ p)\) ，例如：\(2^{3-1}\equiv1(mod\ 3)\)

• 证明如下：

​ 首先存在一个质数为 \(p\) ，根据欧拉函数的性质，与它互质的数即为 \([1,p-1]\) 其中的元素组成的序列，记为：

\[A=\{1,2,3,\cdots,p-1\} \]

​ 需要证明以下同余式成立：

\[\prod_{i=1}^{p-1} (a\times A_i)\equiv \prod_{i=1}^{p-1}A_i(mod\ p)\impliedby a^{p-1}\times \prod_{i=1}^{p-1} A_i\equiv \prod_{i=1}^{p-1}A_i(mod \ p) \]

​ 即说明每一个 \(a\times A_i(mod \ p)\) 的余数都是互不相同的，推导过程有：

​ 假设 \(a\times A_i(mod\ p),a\times A_j(mod\ p)\) 的余数相同且为 \(r\) ，则满足 \(a\times A_i=xp+r,a\times A_j=yp+r\)

\[\implies a(A_i-A_j)=(x-y)p \]

​ 若 \(r\) 存在，则 \(a(A_i-A_j)\) 一定不为 \(p\) 的倍数，当 $A_i\ne A_j $ 时 \((x-y)p\) 一定为 \(p\) 的倍数，则等式不成立

​ 反之就说明了每一个 \(a\times A_i(mod \ p)\) 的余数都是互不相同

又因为 \(a\times A_i(mod\ p)<p\) 恒成立，所以与 \(A_i(mod \ p)\) 的余数集合必然相同

则：

\[a^{p-1}\times \prod_{i=1}^{p-1} A_i\equiv \prod_{i=1}^{p-1}A_i(mod \ p) \]

两侧消去 \(\prod_{i=1}^{p-1}A_i\) 后得到方程

\[a^{p-1}\equiv 1 (mod\ p) \]

例如：\(p=5,A=\{ 1,2,3,4\},a=2\)，那么 \(a\times A=\{2,4,6,8\},a\times A\ \%\ p=\{2,4,1,3\}=A\ \%\ p=\{1,2,3,4\}\)

快速幂加速计算乘法逆元

给定两个整数 \(a,p\) ，\(p\) 为质数，求 \(a\) 模 \(p\) 的乘法逆元

根据费马小定理有：\(a^{p-1}\equiv1(mod \ p)\iff a\times a^{p-2}\equiv1(mod\ p)\)，则 \(a^{p-2}\) 即为 \(a\) 模 \(p\) 的乘法逆元

cin>>a>>p;
cout<<quickpow(a,p-2,p);//调用快速幂计算a^(p-2)，过程中仍然需要对p取余
 
long long quickpow(long long a,long long b,long long p){
	long long res=1;
	while (b){
		if (b&1) res=res*a%p;
		a=a*a%p;
		b>>=1;
	}
	return res;
}