数论基础C

数论基础C

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欧拉函数

\(1\) ~ \(n\) 中与 \(n\) 互质的数的个数叫做欧拉函数，记作 \(\phi (n)\)

有性质如下：

• 存在质数 \(p\) ，则 \(\phi(p)=p-1\)
• 存在质数 \(p\) ，则 \(\phi(p^k)=(p-1)p^{k-1}\)

于是可以推出欧拉函数的计算公式，根据惟一分解定理有

\[n=\prod_{i=1}^sp_i^{\alpha_i}=p_1^{\alpha_1}p_2^{\alpha_2} \dots p_s^{\alpha_s} \]

于是欧拉函数可以写为

\[\phi(n)=\prod_{i=1}^s\phi(p_i^{s_i}) = \prod_{i=1}^s(p_i-1)p_i^{\alpha_i-1} \\ \Rightarrow\phi(n)=\prod_{i=1}^sp_i^{\alpha_i}(1-\frac{1}{p_i}) =\prod_{i=1}^sp_i^{\alpha_i}\times \prod_{i=1}^s(1-\frac{1}{p_i}) \]

整理后得到

\[\phi(n)=n\times\prod_{i=1}^s\frac{p_i-1}{p_i}=n\times \frac{p_1-1}{p_1}\times\frac{p_2-1}{p_2}\times\dots\times\frac{p_s-1}{p_s} \]

观察上式可以发现欧拉函数只和 \(n\) 与它的质因子有关

试除法求欧拉函数

从小到大枚举 \(\sqrt{n}\) 的质因子，计算 \(\frac{p_i-1}{p_i}\) ，然后在 \(n\) 中除掉这个质因子的所有贡献

long long psi(int n){
	long long res = n;
	for (long long i = 2; i * i <= n; i++){
		if (n % i == 0){//判断i是否为n的质因子
			res = res * (i - 1) / i;//计算欧拉函数的部分
			while (n % i == 0) //把n中的这个质因子除干净
				n /= i;
		}
	}
	if (n > 1) res = res * (n - 1) / n;/如果最后剩余的n大于1，那么n就是最后的一个最大质因子
	return res;
}

if (n > 1) res = res * (n - 1) / n; 加上这句判断的原因是：一个整数 \(n\) 最多仅有一个超过 \(\sqrt n\) 的质因子

筛法求欧拉函数

通过线性筛法计算从 \(1\) ~ \(n\) 之间每个数的欧拉函数，以下是欧拉函数的另一个性质：

• 若有 \(gcd(m,n)=1\) （\(m,n\)互质），则 \(\phi(mn)=\phi(m)\phi(n)\)

int p[N], vis[N], cnt;
int phi[N];
 
void get_phi(int n){
	for (int i = 2, i <= n; i++){
		if (!vis[i]){
			p[cnt++] = i;
			phi[i] = i - 1;
		}
		for (int j = 0; i * p[j] <= n; j++){
			int m = i * p[j];
			vis[m] = 1;
			if (i % p[j] == 0){
				phi[m] = p[j] * phi[i];
				break;
			}
			else
				phi[m] = (p[j] - 1) * phi[i];
		}
	}
}

如果枚举的 \(i\) 为质数，那么 \(\phi(i)=i-1\)

//vis[i]==0
phi[i] = i - 1;

枚举的 \(i\) 为合数（此时的 \(i\) 已被之前的质因子筛到过），那么存在两种情况，可以向后递推合数

• 筛到的 \(m\) 可以写作 \(i*p_j\) ，如果 \(i\) 能被 \(p_j\) 整除，说明 \(\phi(m)=\phi(i)\)（\(i\) 存在 \(m\) 的所有质因子）

• 如果 \(i\) 不能被 \(p_j\) 整除，说明 \(i,p_j\) 互质，那么 \(\phi(m)=\phi(i)*\phi(p_j)\)