Prim最小生成树算法

Prim最小生成树算法

首先给出最小生成树的概念：把给定的无向图中转换成一棵树，且树的边权和最小

Prim算法基于贪心的思想，每次在图中选取距离最小生成树最近的点加入树

首先给出朴素的模板算法：

struct edge{
	int v,w;
};
 
int n,m;
vector<edge> e[5010];
int dis[5010];
bool vis[5010];
int cnt,sum;
 
void init(void){
	memset(dis,0x3f,sizeof dis);
}
 
bool prim(int s){
	init();
	dis[s]=0;
	while(1){
		int u=0;
		for (int i=1;i<=n;i++){
			if (dis[i]<dis[u]&&!vis[i])
				u=i;
		}
		if (u==0) break;
		vis[u]=1;
		cnt++;
		sum+=dis[u];
		for (auto it=e[u].begin();it!=e[u].end();it++){
			if (dis[it->v]>it->w)
				dis[it->v]=it->w;
		}
	}
	return cnt==n;
}

其中的

int u=0;
for (int i=1;i<=n;i++){
	if (dis[i]<dis[u]&&!vis[i])
		u=i;
}
if (u==0) break;

作用是找到一个距离最小生成树最近的点（这个点还没有加入树）

如果最后没有找到满足条件的点，就应该结束循环，退出 while(1)

vis[u]=1;//标记找到的这个点已经被加入树中
cnt++;//记录加入树的节点数加一
sum+=dis[u];//最小生成树的边权和

然后根据找到的这个点更新它连通的邻点到最小生成树的距离

for (auto it=e[u].begin();it!=e[u].end();it++){
	if (dis[it->v]>it->w)
		dis[it->v]=it->w;
}

这里以一个连通图为例：

我们可以任意以一个点为 s 即起始点，s=1 时

第一轮：

树无节点，此时的dis 为 dis[]={inf,0,inf,inf,inf}，从小到大找到 1 为最小点，1 加入最小生成树

然后更新 1 的邻点，dis={inf,0,2,2,6}

第二轮：

树节点有 1，此时的dis 为 dis[]={inf,0,2,2,6}，从小到大找到 2 为最小点，2 加入最小生成树

然后更新 2 的邻点，dis={inf,0,2,2,6}

第三轮：

树节点有 1,2，此时的dis 为 dis[]={inf,0,2,2,6}，从小到大找到 3 为最小点，3 加入最小生成树

然后更新 3 的邻点，dis={inf,0,2,2,3}

第三轮：

树节点有 1,2,3，此时的dis 为 dis[]={inf,0,2,2,3}，从小到大找到 4 为最小点，4 加入最小生成树

然后更新 4 的邻点，dis={inf,0,2,2,3}

第四轮：

树节点有 1,2,3,4，此时的dis 为 dis[]={inf,0,2,2,3}，找不到满足条件的点，退出循环

return cnt==n;

返回所有的点是否都加入了树，如果没有全部进树，说明存在不连通点

同样的，对于找最近点的操作可以使用 priority_queue 优先队列优化

priority_queue<pair<int,int>> q;
 
bool prim(int s){
	init();
	dis[s]=0;
	q.push({0,s});
	while (q.size()){
		auto t=q.top();
		q.pop();
		if (vis[t.second]) continue;
		vis[t.second]=1;
		sum-=t.first;
		cnt++;
		for (auto it=e[t.second].begin();it!=e[t.second].end();it++){
			if (dis[it->v]>it->w){
				dis[it->v]=it->w;
				q.push({-dis[it->v],it->v});
			}
		}
	}
	return cnt==n;
}

使用优先队列优化后仍然不要忘记判断点和树的关系

if (vis[t.second]) continue;//如果不是没有进树的点，那就重新找

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区别于最短路的问题，最小生成树更新边的关系原理不一样

for (auto it=e[u].begin();it!=e[u].end();it++){//此时的u已经进了树
	if (dis[it->v]>it->w)//到树的距离为dis[v]和w
		dis[it->v]=it->w;//取两者最小，即更新最短距离
}

在最小生成树中，把边权重新更新为 到树的最短距离，而非最短路中的到起始点的最短距离