数论基础B

数论基础B

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试除法判定质数

暴力做法：枚举 \(2\) ~ \(n-1\) 的所有数，判断能否将 \(n\) 整除，如果存在一个数能把 \(n\) 整数，说明 \(n\) 不是质数

实际上只需要枚举到 \(\sqrt{n}\) 即可，如果 \(a\) 是 \(n\) 的约数，那么 \(\frac{n}{a}\) 也是 \(n\) 的约数，我们只需要检验 \(min(a,\frac{n}{a})\) 即可

bool is_prime(int x){
	if (x == 1) return 0;//1不是质数
	for (long long i = 2; i <= sqrt(x); i++)//从小到大枚举
		if (x % i == 0) return 0;//如果能整除，立即返回非质数
	return 1;//返回是质数
}

具体的计算中，i <= sqrt(x) 的操作可以优化为 i * i <= x 或 i <= x / i ，得到常数级的优化

不难看出对于判断 \(n\) 而言，试除法判断质数的时间复杂度为 \(O(\sqrt{n})\)

埃拉托斯特尼筛法

这是一种在给定区间内有效筛选素数的方式，原理是：

• 从 \(2\) 开始枚举每一个数，直到到达给定的界限
• 对每一个枚举的数都判断一次状态
• 枚举当前质数的倍数，他们必然是合数，更改状态

最后每个数都存在一个状态，要么被标记为合数，要么被标记为质数，这就完成了筛选素数的过程

bool st[N];//状态数组，合数被标记为 1，初始化时都为 0
int prime_mem[N];//记录素数
int cnt;//素数个数
 
void Eratosthens(int n){
	for (long long i = 2; i <= n; i++){//从小到大枚举
		if (!st[i]){//如果这个数是素数
			prime_mem[++cnt] = i;//素数个数加 1，并记录
			for (long long j = i * i; j <= n; j += i)//从小到大枚举素数的倍数
				st[j] = 1;//标记素数
		}
	}
}

其中 for (long long j = i * i; j <= n; j += i) 从 i * i 开始标记合数，这是因为小于 i * i 的合数在之前已经被标记过了

证明如下：

• 设 \(k < i\quad k\in N^+\)，则 $ki $ 为 \(i\) 的倍数，满足 \(ki<i^2\)

\[ki<i^2 \iff k<i \]

• 存在质数\(p\)， \(p<i\)，\(p\) 标记了它的倍数 \(kp\) ，就有

\[p\times k=p \iff k=1 \]

• 由于 \(k<i\) ，所以下述不等式成立

\[p\times k<p\times i<i^2 \iff p<i,k<i \]

所以任意的小于 \(i^2\) 的合数，都已经被小于 \(i\) 的一个素数 \(p\) 标记过

显然，根据算数基本定理，要找到 \(n\) 以内的所有质数，只需要对不超过 \(\sqrt{n}\) 的素数进行筛除即可

for (long long i = 2; i <= n; i++) \(\rightarrow\) for (long long i = 2; i * i <= n; i++)

这种筛法的时间复杂度在 \(O(n\log\log n)\) ，近乎于 \(O(n)\)

线性筛法/欧拉筛法

对于上面的埃拉托斯特尼筛法，过程中会对一个合数重复标记多次，通过线性筛法，可以做到让一个合数只被标记一次

那么时间复杂度就能降到 \(O(n)\)

原理如下：

• 合数总是可以分解为多个质数的积，（整数惟一分解定理）
• 使筛掉的方法唯一，每次通过合数的最小质因子筛掉

bool st[N];//状态数组，合数被标记为 1，初始化时都为 0
int prime_mem[N];//记录素数
int cnt;//素数个数
 
void Euler(int n){
	for (long long i = 2; i <= n; i++){
		if (!st[i]) prime_mem[++cnt] = i;
		for (long long j = 1; i * prime_mem[j] <= n; j++){
			st[i * prime_mem[j]] = 1;
			if (i % prime_mem[j] == 0) break;//保证只被最小质因子筛除
		}
	}
}

\(i\) 为质数，最多枚举到自身中断，即 \(i^2\ \%\ i=0\) 。\(i\) 为合数，最多枚举到最小质因子 \(p\) 结束，即 \(i*p\ \%\ i=0\)

其中的 st[i * prime_mem[j]] = 1; 做到了具体的筛除过程