Bellman-Ford\SPFA单源最短路算法

Bellman-Ford单源最短路算法

不采用 SPFA 实现的Bellman-Ford算法

" 题目中的图没有特殊性质时，若 SPFA 是标算的一部分，题目不应当给出 Bellman–Ford 算法无法通过的数据范围 "

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Bellman-Ford的原理如下

先枚举节点，在枚举边，每进行一轮循环，对图上所有的边都尝试进行一次松弛操作，当一次循环中没有成功的松弛操作时，退出循环

• 判断负环的存在 （有\(n\) 个节点）

对于最短路存在的情况下，对这个节点进行一次松弛操作会使最短路的边数至少增加 \(1\) ，又因为图上的最短路的边数最多为 \(n-1\)

所以松弛操作最多只会执行 \(n-1\) 轮

如果第 \(n\) 轮时我们还能对一条边进行松弛操作，说明能够到达一个负环，在这个环上没有最短路定义，可以一直松弛下去

struct edge {
    int v, w; // 目标节点 v 和边权重 w
};
 
void init(void){
    memset(dis,0x3f,sizeof dis);
}
 
bool bellman_ford(int s){
    init();
    dis[s]=0;
    bool flag;
    for (int i=1;i<=n;i++){//进行 n 轮
        flag=0;
        for (int u=1;u<=n;u++){//遍历所有节点
            if (dis[u]==0x3f3f3f3f) continue;
            for (auto it=e[u].begin();it!=e[u].end();it++){//遍历与u连通的边
                if (dis[it->v]>dis[u]+it->w){//松弛操作
                    dis[it->v]=dis[u]+it->w;
                    flag=1;//标记这一轮可以松弛
                }
            }
        }
        if (!flag) break;//如果无法松弛，提前退出循环
    }
    return flag;//返回最后的标志，判断是否存在负环
}

其中，定义 flag 来判断是否能进行松弛操作，最后在第 \(n\) 轮时 flag 仍然为 \(1\) ，说明存在负环

if (dis[u]==0x3f3f3f3f) continue; 表示如果当前节点不能到达，那就跳过这个节点

• 时间复杂度判断

对于每轮循环，内层的两个 for 都在干一件事情，那就是更新所有的边，所以一轮的复杂度就为 \(O(m)\)，总的时间复杂度就为 \(O(nm)\)

优化方案——SPFA(Shortest Path Faster Algorithm)

朴素的算法中，我们会执行的不必要操作就是每轮都遍历所有的边

事实上，只有上一轮更新过的点才能引起这一轮的松弛操作，所以可以把上一轮更新的点记录下来，这一轮直接对这些点进行松弛操作

采用的是队列 queue 这一数据结构来维护更新的点

queue<int> q;

另外还需要cnt 和 vis 数组来记录当前节点最短路的边数以及是否在队中

bool vis[2010];
int cnt[2010];

SPFA：

bool spfa(int s) {
	init();
	dis[s] = 0;
	q.push(s);
	vis[s] = 1;
	while (q.size())
	{
		int t = q.front(); q.pop();
		vis[t] = 0;//取出队列
		for (auto it = e[t].begin(); it != e[t].end(); it++) {
			if (dis[it->v] > dis[t] + it->w) {
				dis[it->v] = dis[t] + it->w;
				cnt[it->v] = cnt[t] + 1;
				if (cnt[it->v] >= n) return 1;//判断负环
				if (!vis[it->v]) {//压入队列
					q.push(it->v);
					vis[it->v] = 1;
				}
			}
		}
	}
	return 0;
}

首先将起点 s 压入队列，vis[s] = 1 表明在队中

• 循环直到队列为空，即不能松弛结束
• 根据最短路的边数来判断负环

如果一个点的最短路边数大于等于了节点数 n ，说明一定存在一个负环导致某些边的经过次数大于 \(1\) ，及时退出

如果当前的节点能够进行松弛操作，并且当前还不在队列中，就把他压入队列

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大多数情况下 SPFA 跑得很快，但其最坏情况下的时间复杂度和朴素算法一样为 \(O(nm)\)

谨防卡 SPFA ，非负权图就用 Dijkstra