数论基础A

数论基础A

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欧几里得算法（辗转相除法）求最大公约数GCD

有两个整数 \(a,b(a>b)\) ，记它们的最大公约数为 \(gcd(a,b)\)，对于任意的 \(a,b\ne 0\) 满足等式 ：

\[gcd(a,b)=gcd(b,a\% b) \]

• 充分性证明：

  设 \(d\) 为 \(a,b\) 的最大公约数，那么有 \(d\mid a\) 和 \(d\mid b\) 成立，组合出 \(d\mid (a-kb),\ (k\in N)\) 也成立，其中 \(a-kb=a\%b\)

• 必要性证明：

  设 \(d\) 为 \(a,a\% b\) 的最大公约数，那么有 \(d\mid a\) 和 \(d\mid (a-kb),\ (k\in N)\) 成立，同样可以组合出 \(d\mid b\) 成立

程序设计中可以递归求解，递归出口为 \(a,b=0\) ，其中不为 \(0\) 的项即为最大公约数（\(a>b\)）

int gcd(int a, int b){
	if (b == 0) return a;
	return gcd(b, a % b);
}

• 复杂度分析：

  对 \(a\) 取 \(b\) 的模时，至少可以将 \(a\) 缩小到 \(a/2\) ，即 \(a\% b \le a/2\) ，证明如下

  • \(b< a/2\) 时，\(a\% b<b< a/2\)
  • \(b>a/2\) 时，\(a\%b=a-b\le a/2\)
  • \(b=a/2\) 时，\(a\% b=0<a/2\) （特殊状况，\(b\) 为 \(a\) 因子）

最小公倍数LCM

有两个整数 \(a,b(a,b\ne 0)\) ，记它们的最小公倍数为 \(lcm(a,b)\)，对于任意的 \(a,b\ne 0\) 满足等式 ：

\[lcm(a,b)=\frac{a\times b}{gcd(a,b)} \]

计算LCM需要先计算出GCD，采用先除后乘防止溢出

int lcm(int a, int b){
		return a / gcd(a, b) * b;
}

算数基本定理（整数惟一分解定理）

对于任意的一个正整数 \(n\) ，有且仅有一种由质数的乘积所表达的方式

\[n=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\cdot\cdot p_s^{\alpha_s} \quad \quad p_1<p_2<\cdot \cdot\cdot<p_s \]

• \(n\) 至多含有一个大于 \(\sqrt{n}\) 的质因子

  根据上述的表达方式可以反推，若有两个大于 \(\sqrt{n}\) 的质因子，它们的乘积一定大于了 \(n\)

• 证明LCM表达式

  设 ：

  \[a=p_1^{\alpha_1}\cdot p_2^{\alpha_2}\cdot\cdot\cdot p_s^{\alpha_s} \\ b=p_1^{\beta_1}\cdot p_2^{\beta_2}\cdot\cdot\cdot p_s^{\beta_s} \]

  那么 \(gcd(a,b)\) 与 \(lcm(a,b)\) 可表示为

  \[gcd(a,b)=p_1^{min(\alpha_1,\beta_1)}\cdot p_2^{min(\alpha_2,\beta_2)}\cdot\cdot\cdot p_s^{\min(\alpha_s,\beta_s)} \\ lcm(a,b)=p_1^{max(\alpha_1,\beta_1)}\cdot p_2^{max(\alpha_2,\beta_2)}\cdot\cdot\cdot p_s^{\max(\alpha_s,\beta_s)} \]

  因为满足以下的约束条件

  \[min(\alpha_i,\beta_i)+max(\alpha_i,\beta_i)=\alpha_i+\beta_i \]

  所以有

  \[gcd(a,b)\times lcm(a,b) =p_1^{\alpha_1+\beta_1}\cdot p_2^{\alpha_2+\beta_2}\cdot\cdot\cdot p_s^{\alpha_s+\beta_s} = a\times b \]