深入二分思想

深入二分思想

二分在实际使用中常常会出现死循环的问题

这是因为我们对二分临界状态的不熟悉而导致的，这里介绍一种通用的分界想法：

整数二分：

int l = begin - 1, r = end + 1;
while (l + 1 != r) {
	int mid = l + r >> 1;
	if (judge(mid)) l = mid;
	else r = mid;
}

规定当 l + 1 == r 时，退出二分查找，因为在对整数区间进行二分时，最终状态的 l 和 r 是紧密相邻的

judge 函数同样需要进行设计：

1 2 3 4 4 4 5 6 

针对以上序列，我们如果想查找：（下标从1开始）

<4 <=4 >4 >=4 

的元素下标，那么我们二分的 judge 和 返回的值就不同：

//查找 <4 <=4 时：
bool judge(int x){
	if (arr[x] < 4) return 1;
	return 0;
}
//最终状态的边界线处在3和4之间（下标）
//二分最后的l就是3，r就是4（下标）

这样的judge函数，我们可以查找出 <和<= 的位置

同样的：

//查找 >4 >=4 时：
bool judge(int x){
	if (arr[x] <= 4) return 1;
	return 0;
}
//最终状态的边界线处在6和7之间（下标）
//二分最后的l就是6，r就是7（下标）

这样的judge函数，我们可以查找出 >和>= 的位置

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在上述的judge函数中，我们不难写出l和r 的位置关系，但是为什么只用在judge中，添加一个=就能改变查找的方向呢？

还是以这段序列为例：

1 2 3 4 4 4 5 6 

查找 <和<=时，我们目标是把边界线定位在3和4之间

if (arr[x] < 4) return 1;//(l=mid)
else return 0;//(r=mid)

因此，当我们的arr[mid]==4时，我们就要将右边界移动到mid

反之：

查找 >和>=时，我们目标是把边界线定位在4和5之间

if (arr[x] < 4) return 1;//(l=mid)
else return 0;//(r=mid)

因此，当我们的arr[mid]==4时，我们就要将左边界移动到mid

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也可以使用stl库内的 upper_bound()和lower_bound()函数进行二分查找

需要提前对查找的序列进行有序化处理

用法如下：x为需要查找的元素

//对于静态数组
upper_bound(arr+begin,arr+len,x)
lower_bound(arr+begin,arr+len,x)
//对于stl容器
upper_bound(arr.begin(),arr.end(),x)
lower_bound(arr.begin(),arr.end(),x)

其中，在对静态数组进行查找时，arr+begin为从第几个元素开始查找，len为需要查找的区间长度，arr+len则表示查找到第几个元素停止

upper_bound()返回的是第一个 大于 x 的迭代器，lower_bound()返回的是第一个 大于等于 x 的迭代器

对于同样的序列：arr[]={1 2 3 4 4 4 5 6 }

upper_bound(arr, arr+8, 4);
lower_bound(arr, arr+8, 4);
//通过*解引用处理
cout << *upper_bound(arr, arr + 8, 4) <<' ' << *lower_bound(arr, arr + 8, 4);
//输出的结果为 5 4

注意upper_bound()和lower_bound()返回的是迭代器，可以通过 - 操作计算他们的绝对距离（大于0），就是等于4的元素的个数