并查集笔记

并查集笔记

并查集，一种可以高效处理连通区块问题的数据结构，可以优化集合合并操作，判断集合是否连通

它的原理可以简单概括为：

设置一个数组，把每个元素的祖先节点存在数组中，当要查询这个节点所在集合时，通过层层向上，最终找到一个最远祖先

初始化祖先数组时，我们将每个元素的祖先都设置为他自己，当我们查询节点时，如果当前走到的节点的祖先就是他自己，那么他就是这个集合的最远祖先

合并集合时，我们只需要通过一次操作，查找这两个集合各自的最远祖先，然后对最远祖先进行操作，将其中一个的祖先指向另外一个（而不是指向自己），那么就完成区间的合并，这一步存在多种优化方案，如路径压缩，按秩合并等

这里以洛谷P3367为例

在进行操作前，我们首先要设计祖先数组，这个数组存储的是各个节点的祖先节点的位置

int fa[N]; 

然后对数组进行初始化操作

void init(int x) {
	for (int i = 0; i <= n; i++) fa[i] = i;
}

遍历所有用得到的节点，将他们的祖先初始化为他们自己

构造查找函数，目的是返回这个元素的最远祖先

int find(int x) {
	return x == fa[x] ? x : find(fa[x]);
}

使用递归写法，如果 x==fa[x] 说明已经走到了最远祖先的位置，那么就返回当前的 x ，如果不是，则继续查找 fa[x] 的祖先，即查找 x 的祖先的祖先，直到走到最远祖先的位置

merge 函数，目的是对两个集合进行合并操作

void merge(int i, int j) {
	i = find(i), j = find(j);//查找各自的最远祖先
	if (i == j) return;//如果祖先相同，则无需操作
	fa[i] = j;//将i的祖先指向j
	// fa[j] = i; 也可以
}

以上就是朴素的并查集写法，没有任何的优化

不难发现，如果的我们的数据量较大时，那么某个集合的边会变得十分长，从树状结构退化为一条链，大大增加了查找的时间复杂度

这里首先介绍一下路径压缩的优化方案

路径压缩，指的是将查找最远祖先的过程 从开始查找的节点到最远祖先节点的路径上的所有经过的节点，重新将他们的祖先节点指向最远祖先节点

从初始的链结构变化为树结构

这个操作改变了并查集树的结构，具有不可逆性，但是时间复杂度非常优秀，能够做到在近似 \(O(1)\) 的时间内找到一个节点的祖先

代码的修改也十分简洁，只需要在原有查找函数的中间，进行祖先的重定向操作

int find(int x) {
	return fa[x] = x == fa[x] ? x : find(fa[x]);
}

这一步把 fa[x] 赋值为 x 或 find(fa[x]) 即将路径上经过的点的祖先节点更改为他们的最远祖先节点

然后是按秩合并的优化方案

我们知道，并查集的操作就是对不同的树进行操作，每棵树都有其对应的高度

我们在合并两颗树时，合并后的树的高度不会超过合并前两个树的最大高度再加 \(1\) ，即：

\(h\_end<=max(h\_1,h\_2)+1\)

我们需要额外增加一个数组来存储各个节点的秩（当前节点的高度）

int rnk(N);

一开始，我们每个节点的秩都为 \(0\) ，所以将 rnk 开在全局变量里面即可

然后对合并操作进行改写，我们的目标肯定是降低合并后树的高度，树的高度越低，我们查找节点的祖先就越快

void merge(int i, int j) {
	i = find(i), j = find(j);
	if (i == j) return;
	if (rnk[i] > rnk[j]) swap(i, j); //这里保证 rnk[i] <= rnk[j]
	fa[i] = j; //将秩较小的集合合并到秩较大的集合上
	if (rnk[i] == rnk[j]) rnk[j]++;//如果他们的秩相同的话，那么合并到的集合的秩就需要加1
}