DFS入门笔记

DFS深度优先搜索-入门 笔记

DFS 依靠递归的思想，总是往更远的方向行进，直到达到边界，再返回到上一步考虑另外的方向

（递归-回溯）

• 递归实现指数型枚举

从 \(1\)~\(n\) 这 \(n\) 个整数中随机选取任意多个，输出所有可能的选择方案，即计算\(2^n\)

我们考虑有 \(n\) 个空位，每次都选择填或不填数字进去

同时记录该数字的状态：选择中、填、不填 一共三种状态，所以需要一个数组来存储他们

int n;
int state[20];

然后来构造 dfs 函数：使用 x 这个变量来作为形式参数，意思是当前考虑到了第几个空位

void dfs(int x){
	......
}

此时第 x 位的状态为初始化的 \(0\) ，表示在选择中，每个空位都有两种选择：填或不填

我们把填的状态记作 \(1\) ，不填的状态记作 \(2\)

state[x]=1;//选择填入
dfs(x+1);
state[x]=0;
    
state[x]=2;//选择不填入
dfs(x+1);
state[x]=0;

每次选择填或不填后，再次调用 dfs 递归考虑下一个空位，递归完成后，我们将这一位的状态复位，即state[x]=0（回溯）

当递归到没有空位的情况时，我们就输出方案：

if (x>n){//第x位超过了我们给定的n
    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (state[i]==1)//当第i位的状态为1（选了），我们就输出该位填入的数
            printf("%d ",i);
    }
    printf("\n");
    return ;//终止递归，开启回溯
}

完整代码：

#include <stdio.h>
 
int n;
int state[20];
 
void dfs(int x){
    
    if (x>n){
        for (int i=1;i<=n;i++){
            if (state[i]==1)
                printf("%d ",i);
        }
        printf("\n");
        return ;
    }
    
    state[x]=1;
    dfs(x+1);
    state[x]=0;
    
    state[x]=2;
    dfs(x+1);
    state[x]=0;
    
}
 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    dfs(1);
    return 0;
}

• 递归实现组合型枚举

从 \(1\)~\(n\) 这 \(n\) 个整数中随机选出 \(m\) 个，输出所有可能的选择方案，即计算\(C_n^m\)

DFS要求我们的方案做到不重不漏，对应组合数的计算，采用“不回头”的策略

还是考虑第 \(x\) 位填不填数字进去，只是需要增加一个参数来记录我们从第几个数开始选数字（不回头）

填第 x 个空位时，我们从第 str 项开始

void dfs(int x, int str){
	......
}

使用for循环来对 n 个数依次进行考虑，定义arr 数组，存储我们的方案

for (int i=str;i<=n;i++){
    arr[x]=i;
    dfs(x+1,i+1);
    arr[x]=0;
}

从 \(1\) 开始考虑，每次填入 arr 数组的第 x 位，然后递归到第 x+1 位，并从第 i+1 项开始选择

最后递归到 x>n 时结束递归，输出arr 数组中每一位填入的数

 if (x>m){
    for (int i=1;i<=m;i++){
        printf("%d ",arr[i]);
    }
    printf("\n");
    return;
}

完整代码：

#include <stdio.h>
 
int n,m;
int arr[52];
 
void dfs(int x, int str){
    
    if (x>m){
        for (int i=1;i<=m;i++){
            printf("%d ",arr[i]);
        }
        printf("\n");
        return;
    }
    
    for (int i=str;i<=n;i++){
        arr[x]=i;
        dfs(x+1,i+1);
        arr[x]=0;
    }
}
 
int main()
{
    scanf("%d %d",&n,&m);
    dfs(1,1);
    return 0;
}

• 递归实现排列型枚举

把 \(1\)~\(n\) 这 \(n\) 个整数排成一行后随机打乱顺序，输出所有可能的次序，即计算\(A_n^n\)

我们一样考虑第 \(x\) 位填入数字的操作，但是每次填入的数字都可以取未填过的，因为需要考虑排列顺序

void dfs(int x){
    ......    
}

我们开一个bool数组来记录数字的状态（选过了，未选过）

使用for 循环来遍历所有数字的状态，选择未被使用过的数字填入第 x 位

for (int i=1;i<=n;i++){
    if (!st[i]){//选择未被使用过的数
        arr[x]=i;
        st[i]=1;//标记该数已被使用
        dfs(x+1);
        st[i]=0;//回溯
    }
}

当 x>n 即填完了所有空位后，结束递归，输出arr数组记录的填入的数字

if (x>n){
    for (int i=1;i<=n;i++){
        printf("%d ",arr[i]);
    }
    printf("\n");
    return;
}

完整代码：

#include <stdio.h>
 
int n, arr[10];
bool st[10];
 
void dfs(int x){
    
    if (x>n){
        for (int i=1;i<=n;i++){
            printf("%d ",arr[i]);
        }
        printf("\n");
        return;
    }
    
    for (int i=1;i<=n;i++){
        if (!st[i]){
            arr[x]=i;
            st[i]=1;
            dfs(x+1);
            st[i]=0;
        }
    }
    
}
 
int main()
{
    scanf("%d",&n);
    dfs(1);
    return 0;
}