位运算笔记

位运算笔记

对二进制数进行直接操作：

基础操作：

例：
 a=0000 1101;
 b=0011 0101;
 
 与：a&b==0000 0101;//当两个数的第i位都为1时，a&b的第i位才为1
 
 或：a|b==0011 1101;/*当两个数的第i位都为0时，a|b的第i位才为0
    或者说两个数的第i位其中至少有一个为1，对应的a|b的第i位就为1*/
 
 异或：a^b==0011 1000;//当两个数的第i位相同时，a^b的第i位为0，不相同则为1
 
 取反：~a==1111 0010;//前置运算符~，对一个数的所有位进行取反操作 1->0 0->1
 
 取k=2时：
 左移：a<<k==0011 0100;//将a朝左边移动k位，超过最高位次的数直接舍弃，增加的低位以0补上
 右移：b>>k==0000 1101;//将b朝右边移动k位，超过最低位次的数直接舍弃，增加的高位以0补上

备注：

关于 ^ 运算符有如下操作

结合律： (a ^ b) ^ c == a ^ (b ^ c)

对于任何数 x，都有 x ^ x = 0，x ^ 0 = x

自反性：a ^ b ^ b = a ^ 0 = a

lowbit()操作：

lowbit(a)定义为：非负整数 a 在二进制表示下最低位的 1 及其后面的所有的 0 的二进制所构成的数

例：
 a=0101 0011;//a=83
 b=1100 0000;//b=192
 lowbit(a)==1;//0000 0001
 lowbit(b)==64;//0100 0000

lowbit()的原理:

int lowbit(int x){
	return x&-x;
}

x 对于 -x 进行与操作

-x 等价于 ~x+1 即对x补码

例：
 a=1010 0000;
 ~a=0101 1111;
 ~a+1=0110 0000;
 a&(~a+1)=0010 0000;

补充：

原码、反码、补码操作：

例：a = 1010 0110

a 的原码为其本身，即1010 0110

a 的反码就是对 a 的每一位进行取反操作，和 ~a 相同，即0101 1001

关于补码：

任何大于0的数的补码都等于它的原码，即它本身

任何小于0的数的补码都等于它的反码再加上 1

a 为大于0的数，-a则是小于0的数

备注：

设 x = 0101 0010//82，~x = 1010 1101//173 存在等式 x + (-x) = 0

那么 -x = 0 - x ，此时内部进行的操作为 0000 0000 - 0101 0010

显然0000 0000需要向前借位才能进行减法操作

此时有：

1 0000 0000 - 0101 0010 = 1010 1110//174

在8位二进制计算中，能表示的最大值为255，这是因为 0 占去了一个位置

所以说在计算 x 的负值时，我们需要跳过多出的0，从而有：

-x = ~x+1