Codeforces Round #639 -E

E

建立有向图，结点表示变量，a->b表示存在式子（a<b）。

1、 有解的充分必要条件是无环。

无环时一定有解：全部存在性约束，因为无环所以存在入度为零的点，入度为零的点先随意安排一个值，然后按照拓扑序，每个结点安排max(入度结点值)+1即可。

有环时一定无解：有环说明存在一个结点大于或者小于自身，不可能存在约束使其满足。

又有环无环为对立条件，根据逆反原理，有解时一定无环。

所以定理成立。

2、如果一个结点与比标号小的结点存在<或者>关系，则这个结点只能为存在性约束。（枚举证明一下，或者逻辑推导一下。）

其余的结点可能为任意性约束。则最好情况是其余节点全部为任意性约束。

令其余节点都为任意性约束，证明不会出现矛盾。

首先，任意性结点之间不存在</>关系，因为存在则任意性结点对不成立。

1） 如果一个存在性结点只受到一个任意性结点的约束，则存在取值。

2） 如果一个存在性结点受到两个以上的结点约束，则同时受到<约束，或者>约束，不可能同时受到<和>约束因为这样会导致任意性结点之间存在大小关系，则该结点只需要取max/min(入度结点值)+1/-1即可。

核心思维：数形结合，有向无环图（DAG）的理解与运用。