Knapsack Packing(思维+multiset)

题意：

　　　给定一个集合A，包含2^N个数，问是否存在N个数可以组合成A。

思路：

　　假设存在N个数可以组合成A。取出A中最大的两个数Firs，Second；x=First-Second，x一定位N个数中的一个数；集合A中的元素按照是否包含x可以划分为A＋（包含ｘ），A－（不包含ｘ）；且A＋的大小＝A－的大小＝２＾（Ｎ－１）；

　　A－可以看作是剩下的N－１个元素组合而成的集合，将A－迭代A（A＝A－），继续执行上述操作，集合的大小不断变为原来的１／２，直至最终只剩下一个元素０；

　　

　　{

　　如何不重不漏的求得所有不包含ｘ的元素，即如何求得A-？

　　首先将A中的所有元素单调不减的顺序排列，然后从小到大处理。

　　序列S：不包含x的元素所形成的序列。初始为空。

　　A中的第一个元素为０，将０加入S。

　　假设序列S已有：ａ１，ａ２……ａｋ，且ａ１＋ｘ，ａ２＋ｘ，……ａｋ＋ｘ都已经从A中删除，则ａＫ＋１一定不包含ｘ。

　　证明：假设ａｋ＋１包含ｘ

　　　　１、若ａｋ＋１－ｘ小于等于ａｋ，则ａｉ＋ｘ（１＜＝ｉ＜＝ｋ）未删除，与已知矛盾。

　　　　２、若ａｋ＋１－ｘ大于ａｋ，则ａｋ＋１不是大于ａｋ的第一个元素，与假设矛盾。

　　固假设错误，所以ａｋ＋１不包含ｘ。

　　将ａｋ＋１加入序列S，并将ａＫ＋１＋ｘ从A中删除。重复执行加入删除的步骤，直至A为空，此时S即为A－。

　　}

 

　　以上为必要条件，即若存在N个元素可以组合成A，则以上条件满足。

　　若A可以重复的用A-迭代，直至最后只剩下一个0，那么也存在N个元素可以组合成A。

/*
来自题解
给你n件物品和他们的重量和所有组合，求是否存在这n件物品的重量，满足这些组合
*/
#include <cstdio>
#include <cstring>
#include <cmath>
#include <cctype>
#include <iostream>
#include <algorithm>
#include <map>
#include <set>
#include <vector>
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#include <stack>
#include <queue>

typedef long long LL;
using namespace std;

int n, ans[25];

multiset<int> s;

int main()
{
    //freopen("in.txt", "r", stdin);
    //freopen("out.txt", "w", stdout);

    scanf("%d", &n);
    for (int i = 0, x; i < (1 << n); i++) scanf("%d", &x), s.insert(x);
    int cnt = 0;
    for (int i = 1; i <= n; i++){
        if(s.size() < 2) break;
        cnt++;
        int x = *prev(s.end()) - *prev(prev(s.end()));
        ans[i] = x;
        for (auto it = s.begin(); it != s.end(); it++){
            int y = *it;
            auto p = s.upper_bound(x + y);
            p = prev(p);
            if(p == s.end() || p == it || *p != x + y){
                printf("impossible\n");
                return 0;
            }
            s.erase(p);
        }
    }
    if(s.size() != 1 || *s.begin() != 0 || cnt < n) printf("impossible\n");
    else for (int i = 1; i <= n; i++) printf("%d\n", ans[i]);

    return 0;
}
/**/