最短路径可行边

给定图G，求u-v的最短路径可行边。

u-v的最短路径可行边：存在一条u-v的最短路径经过这条边。

与之相对应的是最短路径必须边：任意一条最短路径都必须经过的边。本文不探讨该问题。

首先求出u为起点的单源最短路径（Dijkstra或者SPFA随意），以dis[x]表示u到x的最短距离。

然后明确一个充分必要条件：一条边a->b是u->b的最短路径可行边的 充分必要条件是 dis[a]+w[a->b]=dis[b]。（由最短路径的定义和性质显而得证）

进而，我们判断v的所有入边x->v是否为u->v的最短路径可行边。若是：则将x加入队列，并将这条边标记为u->v的最短路径可行边。

然后从队列中取元素x并求u->x的最短路径可行边，这条u->x的可行边也是u->v的可行边，标记这条边，并将 入点 加入队列。重复此过程直至队列为空，所有标记的边即为u->v的可行边。

对了注意不要将一个点重复加入队列。

 

喜闻乐见的综合性题目：Marriage Match IV HDU - 3416

对于这题可以先看下这篇题解：https://www.cnblogs.com/xiuwenli/p/9326457.html

题解求的S（源点）到任意一点的最短路径可行边来建立网络流模型，我们实际需要的是S->T（汇点）的可行边来建立网络流模型。那么这样扩充边是否会使答案错误？

答：不会。

证明：

　　若一条边a->b是S->T的最短路径可行边，那么它也一定是S->b的最短路径可行边，因为最短路径由最短路径组成这条性质。所以所有S->T的可行边都求出来了。

　　若一条边a->b仅仅是S->b的可行边，那么说明没有最S->T的最短路径经过b（若有，则a->b也是S->T的最短路径可行边），那么不存在由b出发的边，也就说明在网络流中流到b的流不会流出，即不存在流到b的可行流。所以这种可行边对网络流没影响。

若这种证明不好理解，就直接求S->T的可行边来建立网络流模型吧。

 

若有错误敬请指正！非常感谢！