由100盏灯想到的（二）

 

 本系列的第一篇:

http://www.cnblogs.com/dhf327/p/4773672.html

 

100盏灯的问题，上次我们算是基本解决了，不管算法上是否够优化，至少我们已经在可接受的时间得到了答案。

但是最后还留了一道题，亲们，你们是不是已经想出来了?

 

一，上次的题目

上一篇给出了python求一个正整数的所有的因数的方法，这个方法目前工作正常，求单个正整数的所有因数速度上也没有任何问题。

但是结合上一篇最后的题目，有心的同学一下子就看出问题来了，1到10的12次方，假设求每个数的所有因数需要1毫秒，整个循环总共需要多长时间？（考虑到后期的数字比较大，前期的数字比较小，这个1毫秒还是比较乐观的时间）

 python可以快速计算一下：

print(1000000000000/1000/60/60/24/365)

结果是 >31.7  这个数的单位应该是年吧，我的老天，不是在逗我玩吧。这个时间任谁也接受不了，这个QQ群咱们不加了？

显然，就算我们使用并行算法，在可接受的时间内，仍不能得到正确的结果。也许可以用集群来处理，又好像大炮打蚊子了。

此时需要算法优化了。

 

二，再谈算法优化

当常现方式不能解决的时候，我们需要一种新的思路来解决这个问题，因为这基本是个纯数学问题，而我的数字功底一般，那就请出万能的搜索引擎吧，找到两个相关的定理可以用到。

约数个数定理，约数和定理。这里的约数也就是因数。百度百科的解释如下：

对于一个大于1正整数n可以分解质因数：n=p1^a1*p2^a2*p3^a3*…*pk^ak,
则由约数个数定理可知n的正约数有(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个，
那么n的(a₁+1)(a₂+1)(a₃+1)…(ak+1)个正约数的和为
f(n)=(p1^0+p1^1+p1^2+…p1^a1)*(p2^0+p2^1+p2^2+…p2^a2)*…*(pk^0+pk^1+pk^2+…pk^ak）

如10=2^1*5^1;  则10的因数个数为 （1+1）*（1+1）=4个，因数和为（2^0+2^1）+(5^0+5^1)=18

上面定理的内容没有提到，一般的p1<p2<p3...

证明可以自己去找资料，总之这个内容我们是可以拿来用了。

如果用这个定理，似乎可以解决我们的问题了，让我们试试看。

 

三，分解质因数

每个数要分解质因数，也就是质数的因数，忘记质数定义的同学请自行百度，

假设我们有从2开始的连续的质数有序序列，我们可以很快的计算出一个数分解质数的结果。

m=[2,3,5,7,11,13,17,19,...]

假设对n进行分解质因数，那么就是从2开始，如果能整除，就用整除后的值再除以2，如果除不尽的时候，就除以下一个值3，依次类推，直到分解完毕。

这就是有名的短路算法。

 

让我们来比较一下，上一篇中我们求所有的因数的算法，可以真正求出一个正整数的所有的因数，而现在利用这个公式，我们可以不用求出所有的因数，就能直接对所有的因数进行求和，似乎是更快了一些。

实际上，上一篇中的算法不依赖任何其他的东西，只是计算量比较而已，虽然只是从2到n的平方根，但这其中的每个数都要参与运算，计算量很大。

此时新的短路算法，看起来比较快，但是还有很重要的一点，他需要一个质数的序列！

 

问题似乎变复杂了。

 

未完待续）