由100盏灯想到的（一）

原题目地址：http://www.cnblogs.com/DeanChopper/p/4772593.html

　　大厅里有100盏灯，每盏灯都编了号码，分别为1-100。每盏灯由一个开关来控制。（开关按一下，灯亮，再按一下灯灭。开关的编号与被控制的灯相同。）开始时，灯是全灭的。现在按照以下规则按动开关。
第一次，将所有的灯点亮。
第二次，将所有2的倍数的开关按一下。
第三次，将所有3的倍数的开关按一下。
以此类推。第N次，将所有N的倍数的开关按一下。
问第100次按完以后，大厅里还有几盏灯是亮的。

 

网上找了一下，此题还有其他的表述方式类似：
　　礼堂里有100盏电灯,编号1－100,每盏灯由一根灯绳控制,拉一下改变状态.开始灯全是灭的,100个同学依次进入礼堂,

第一个学生把1的倍数的灯绳拉一下,灯全亮；

接着第二个同学把2倍数的灯绳拉一下；

第三个同学把3倍数的灯绳拉一下······第100个学生把100的倍数的灯绳拉一下.最后,礼堂里哪些灯是亮的?

 

1，暴力解法：

暴力解法一般是思路上最接近题意的，按题目要求的步骤直接求解，暴力求解一般计算量也是最大的。

我一般都是先用笨办法计算出结果，再想办法优化。现给出C#暴力解法，得出最后的结果，代码如下：

    class Program {

        //100盏灯，默认全是关着的
        static bool[] lights = new bool[100];

        static void Main(string[] args) {
            //100次开关测试
            for (int i = 1; i <= 100; i++) {
                ChangeState(i);
            }
             
            //开关完成，打印最后的结果
            Console.WriteLine("最后亮灯的还有{0}盏。", lights.Count(r => r));

            //分别打印每盏灯
            for (int i = 0; i < 100; i++) {
                if (lights[i]) {
                    Console.WriteLine(i + 1);
                }
            }

            Console.WriteLine("实验结束！");
            Console.ReadKey();
        }

        /// <summary>
        /// 开关灯
        /// </summary>
        /// <param name="x"></param>
        private static void ChangeState(int x) {

            for (int i = 0; i < 100; i++) {
                if ((i + 1) % x == 0) {
                    lights[i] = !lights[i];
                }
            }

        }

    }

上面的解法很容易就能求出结果，各位可以先自行测试一下。

2.优化

　　暴力解法可以得到结果，但这肯定是不能让人满意的。现在回过头来再分析这个题。

第一次操作，每个灯的开关都被按一次；

第二次操作，2的倍数的开关都被按一次；

.....

下面列出前十次，前十个数的具体情况

	灯1	灯2	灯3	灯4	灯5	灯6	灯7	灯8	灯9	灯10
步骤1	操作	操作	操作	操作	操作	操作	操作	操作	操作	操作
步骤2		操作		操作		操作		操作		操作
步骤3			操作			操作			操作
步骤4				操作				操作
步骤5					操作					操作
步骤6						操作
步骤7							操作
步骤8								操作
步骤9									操作
步骤10										操作
操作次数	1	2	2	3	2	4	2	4	3	4

可以看到，最下面一列是操作的次数，操作次数为奇数次的，灯最后是打开的状态，是偶数次，则为关闭。

被操作的规律如下:

灯1:1

灯2:1，2

灯3:1，3

灯4:1，2，4

...

依次写下去，就可以发现，每个灯被操作的步骤，其实为此灯编号的因数。

如灯36被操作的步骤:1，2，3，4，6，9，12，18，36

此时题目转化为求[1-100]100个数中，因数个数为奇数的数的数量是多少。

因为最近在学习Python，求因数的算法用python 语言给出，3.4 版本运行成功 如下：

def getZYS(n):
    x=2
    zys=[]
    zys.extend([1,n])
    while x*x<=n:
        if n%x==0:
            if x*x==n:
                zys.extend([x])
            else:
                zys.extend([x,n//x])
        x+=1
    return zys
    
n=input('请输入一个正整数:')
n=int(n)
lb=getZYS(n)
lb=sorted(lb)
print(lb)
            

此时，题目的解法已经第一次被推广，在一定程度上，我们已经可以解决更多类似的问题。推广后的解法请自行试着去解决。

3.就事论事

求一个正整数的质数的过程，如上面代码所示，其实就是对某个数平方根以下的数试着求余，但具体到本题而言，转化一下描述为，怎样快速判断一个数的因数个数是否为奇数。

请看上面的代码，第7-10行，如果能深刻理解这几行，上面所述的题目会有更快的解法。

 

我们注意到，求一个数因数的过程，是从1开始到其平方根，除平方根外，其他的因数都是成对的出现！，也就是，只有平方数的因数是奇数个！，100以内的平方数只有10个，分别是1，4，9，16，25，36，49，64，81，100，所以上述题目的最后结果是10个灯最后是亮着的。

优化完的代码，注释要多一些，代码本身将非常之少，因为100的平方根是10，所以最后亮10盏灯。

你明白了没有？

 

附：

求一个正整数的因数的个数的研究，最初来源于一个Python群的入群题目：

求1<=i<=10**12范围内所有d(i)的和的末12位，d(i)表示i的正约数的和，i为整数

 

这个题目可以试着解一下

 

未完待续）