快速排序

目录

• 一、定义
  • 前言
  • 排序过程
    • 描述
    • 选取枢纽元
    • 三数中值分割法
    • 分割策略
• 二、算法分析
• 代码地址

一、定义

前言

​ 顾名思义，快速排序是实践中的一种快速排序算法，在C++或对Java基本类型的排序中特别有用。它的平均运行时间是\(O(NlogN)\)。该算法之所以特别快，主要是由于非常精炼和高度优化的内部循环。它的最坏性能\(O(N^2)\)。通过将堆排序和快速排序的结合，由于堆排序的最坏情形是\(O(NlogN)\)，可以对几乎所有的输入都能达到快速排序的快速运行时间。

Java的基本类型本身是由C语言继承过来，所以它的结构是直接存储值而不是引用。所以用归并排序明显不合适，因为归并排序产生的数组和拷贝，对值的操作会耗费大量时间。对Java的引用反而更好，因为引用的拷贝不涉及到内存的处理。所以Java的基本类型使用快速排序，而引用类型使用归并排序。

归并排序https://www.cnblogs.com/dhcao/p/10727077.html

排序过程

描述

​ 对于数组S的排序过程：

• 如果S中元素个数是0或者1，则直接返回。
• 取S中任意元素\(v\)，称之为枢纽元(pivot)。
• 将\(S-\{v\}\)和S中其余元素划分成2个不相交的集合：\(S_1 = \{x\in S-\{v\} | x \leq v \}\)和\(S_2 = \{x\in S-\{v\} | x \ge v \}\)。
• 返回{quicksort( \(S_1\))后跟\(v\)，继而返回quicksort($S_2 $)}。

​ 或者 ：

• 在S中随意位置选择一个元素\(v\)，作为枢纽元。假设下标为\(i\)，值为\(x\)。
• 将S从\(i\)分为前后两部分。
• 将值小于\(x\)，的元素放在 \(i\) 前面，将值大于\(x\)，的元素放在 \(i\) 后面。
• 递归排序，得到有序数组。

选取枢纽元

​ 看上述描述，枢纽元的作用在于：做一个比较的标杆，并根据这个标杆将数组分为前后两部分，所以，理想的枢纽元是中间值，但是一个随机数组，不可能一下找到中间值。那么如何选择枢纽元是很关键的。

​ 坏的枢纽元：最大值或者最小值，当我们不小心选取了最大值或者最小值作为枢纽元，那么很明显，我们无法将其分为2部分，这里提供一种常用的枢纽元选择法：三数中值分割法。

三数中值分割法

​ 在一个N的数组中，使用左端，右端和中心三个位置上的元素的中值作为枢纽元。例如，输入为8，1，4，9，6，3，5，2，7，0。它的左端是8，右端是0，中心位置是6，我们在这三个值中选择中值。所以枢纽元为6。

分割策略

​ 分割策略很多种，此处描述的策略被证明能够给出最好的结果。

• 通过将枢纽元与最后的元素交换使得枢纽元离开要被分割的数据段。
• 分别使用\(i\) 和\(j\) 作为标示，\(i\)从第一个元素开始，\(j\) 从倒数第二个元素开始。
• 当\(i\) 在\(j\) 的左边时，我们将\(i\) 向右移动，而\(j\) 向左移动。
• 当\(i\) 和\(j\) 停止时，\(i\) 指向的元素比枢纽元大，而\(j\) 指向的元素比枢纽元小。
• 交换\(i\) 和\(j\) 指向的元素的值。
• 继续移动\(i\) 和\(j\) 直到\(i\) 和\(j\) 交错为止。
• 最后将\(i\) 指向的元素和枢纽元交换。

​ 图解：

​ 图解说明：

​ 最后一步枢纽元和\(i\)交换值之后，我们可以分析得到位置\(p< i\)的值都小于枢纽元，\(p>i\)的值都大于枢纽元。这样我们就将数组以枢纽元为单位区分为两部分，前部分小于枢纽元，后部分大于枢纽元。

​ 这是描述第一次分割，而后我们可以：对前部分再进行分割，对后部分进行分割。一直到所有元素有序！没错，就是需要用递归！

​

​ 优化

​ 此处我们可以发现，有一步明显存在优化的可能。即：选择枢纽元并将枢纽元放到数组最后。因为我们枢纽元是选择的三数中值，意味着，我们可以对\(i=0,i=n-1,i=n/2\) 三个元素进行排序。所以我们可以考虑将比枢纽元大的值放在最后，比枢纽元小的值，放在第一位，最后将枢纽元与倒数第二个值交换，如下图：

这样优化，可以减少比较次数。

二、算法分析

​ 很明显，按照上述过程，快速排序也是递归进行的。

​ 最好时间

​ 对于类似分割递归的时间，其实我们如果运气好，每次选择的枢纽元都可以将数组分为2部分，那么它的时间明显可以为

\[T(N) = 2T(N/2) + cN \]

​ 此过程推导很简单，利用相加消除（其实跟归并排序完全相同）。得到：

\[T(N) = cNlogN + N \\ =O(NlogN) \]

​

​ 平均情况

​ 对于平均情况，根上述最好时间是类似的分析。只不过不能每次都正好分为2部分，也就是不能使用\(2T(N/2)\)，而是随机求和。我们可以分为前部分为1，后部分为N-1。前部分2，后部分N-1….之类的，可以知道，一共有N/2种组合。每个部分的大小可能性为2/N。所以得到：

\[T(N) = \frac{2}{N}[\sum_{j=0}^{N-1}] +cN\\ NT(N) = 2[\sum_{j=0}^{N-1}] +cN^2\\ \]

​ 同样利用相加消除：得到

\[\frac{T(N)}{N+1} = O(logN)\\ T(N) = O(NlogN) \]

这个推导过程还是可以参考归并排序。

代码地址

https://github.com/dhcao/dataStructuresAndAlgorithm/blob/master/src/chapterSeven/QuicksortEx.java