希尔排序
一、定义
1.1 描述
希尔排序（Shellsort）有时也被称作缩减增量排序。它通过比较一定间距的元素来工作，各趟比较所用的距离随着算法的进行而减小。
首先要说明2个概念：
- 增量序列：希尔排序使用\(h_1,h_2,h_3,…,h_t\)序列，叫做增量序列，只要\(h_1=1\)，任何增量序列都是可行的！不过不同的增量对算法的影响可能差距很大。例如：\(h_1 = 1,h_2=3,h_3=5\)是一个增量序列。
- \(h_k\)排序：每次使用增量序列中的一个增量\(h_k\)进行排序之后，对于每一个\(i\)，我们都有\(a[i]\leq a[i+h_k]\)，所有相隔\(h_k\)的元素都被排序。
1.2 过程
\(h_k\)排序的一般做法：将\(h_k,h_k+1,…,N-1\)中的每一个位置\(i\)，把其上的元素放到\(i，i-h_k,i-2h_k,…\)中的正确位置。其实可以看出这就是在插入排序的基础上进行分组。
图解（增量序列：\(h_1 = 1,h_2=3,h_3=5\)，数组a=[81，94，11，96，12，35，17，95，28，58，41，75，15]）
过程描述
-
在\(h_3=5\)增量时。我们对a[5]以后的数字进行间距为5的插入排序，得到在间隔为5的所有元素都是已排序的。例如：a[0],a[5],a[10]是已排序的，a[1],a[6],a[11]是已排序的。
-
在\(h1=1\)增量时，相当于一次插入排序。所以说只要\(h_1=1\)，任何增量序列都是可行的！。
二、算法分析
我们知道，希尔排序的关键点在与增量序列，不同的增量序列对排序的效率将有不同的影响，我们总是期望选择一个增量序列，它拥有最好的时间函数。
选择增量序列，是希尔排序最最最重要的，也是从算法开始到现在，都没有得出最好结论的，我们永远不知道有没有一个增量序列比我们已知最好的还要好。但是我们可以分析出不同的增量得到的上界和下界，并由分析推荐几个合适的增量序列。
2.1 希尔增量序列
由Shell提出的一个序列：$h_t=\left \lfloor N/2 \right \rfloor $ 和 $h_k=\left \lfloor h_{k+1}/2 \right \rfloor $。这个序列的性能不算最好，是最开始提出的序列之一。我们很容易给出它的Java实现：
$h_t=\left \lfloor N/2 \right \rfloor $ 的含义：$h_t $ 的取值为比 \(N/2\) 小的最大整数。
同理：\(\lceil N/2 \rceil\)的取值为比\(N/2\)大的最小整数
/**
* 希尔排序。
* 增量序列：N/2，N/4 ....
*
* @param a
* @param <T>
*/
public static <T extends Comparable<? super T>> void shellsort(T[] a) {
int j;
for (int gap = a.length / 2; gap > 0; gap /= 2) { // 增量序列
// 每个序列排序过程
for (int i = gap; i < a.length; i++) {
T tmp = a[i];
for (j = i; j >= gap && tmp.compareTo(a[j - gap]) < 0; j -= gap) {
a[j] = a[j - gap];
}
a[j] = tmp;
}
}
}
希尔增量时，希尔排序的最坏情形运行时间为\(\Theta(N^2)\)
这个时间将很容易证明，我们需要分2步。
- 首先给出最坏情形的一个数组。
- 对这个数组用希尔增量序列进行分析，分析过程如上文第一张图。
我们假设有这样一个数组a={1，9，2，10，3，11，4，12，5，13，6，14，7，15，8，16}。这个数组看上去只是奇怪，但是构造这样的数组，对于希尔增量来说，将会很麻烦。因为希尔增量的取值为\(N/2\)并不断二分。我们可以给出这个数组的增量序列为\(h_4=8,h_3=4,h_2=2,h_1=1\)。
我们首先证明下界\(\Omega(N^2)\)（其实这个下界适用于多种排序，可以单独拿出来证明，而不限于希尔排序）。如果走一遍上面的增量序列，我们可以对每个要比较移动的数字，进行判断。对于15，我们只需要移动1次到倒数第二，14需要移动2次到倒数第三，13需要移动3次到倒数第四，…，数字9需要移动7次。统计需要次数：1+2+3+…+7 = 28。所以总的次数：\(\sum\limits_{i=1}^{N/2} i-1=\Omega(N^2)\)。
我们再说明上界\(O(N^2)\)。我们前面在分析增量为\(h_k\)的一趟排序时不断提到插入排序，而且希尔排序确实基于这样一个事实：带有增量\(h_k\)的一趟排序由\(h_k\)次关于\(N/h_k\)个元素的插入排序组成。由于插入排序的界是已知的二次界。所以每趟排序的开销\(O(h_k(N/h_k)^2)\)。求和得到：
所以希尔增量得到的希尔排序时间界为\(\Theta(N^2)\)。
2.2 其他增量序列
Hibbard增量序列：1，3，7，···，\(2^k-1\)。
这个增量序列的时间界：\(\Theta(N^{3/2})\)。我是不会写证明过程的，这个证明说了白说...
还有一些其他的增量序列，他们各自都有自己的时间界。但是迄今为止，无人敢断定还会不会有更好的增量序列。
Pratt证明了\(\Theta(N^{3/2})\)的界适用于广泛的增量序列
三、代码地址
https://github.com/dhcao/dataStructuresAndAlgorithm/blob/master/src/chapterSeven/ShellsortEx.java
