信息安全与数学基础-笔记-①整数的可除性

知识目录

• 整除
• 素数
• 带余除法
• 最大公因数（欧几里德算法）
• 裴蜀等式
• 最小公倍数
• ❀标准分解式❀
• • 标准分解式求最大公因数
  • 标准分解式求最小公倍数

整除

• a = bq
  公式表达的意思：b整除a，a可被b整除
  用符号表示：b | a
  否则：a不能被b整除的话用下面这个符号
  
• 注意的点：
  0是任何数的倍数
  1是任何数的因子
  一个数的本身即是自己的倍数，又是自己的因子

在该表达方式中

• ①正负都适用：因为能否整除这件事情就不受正负影响
• ②传递关系：a | c , c | b => a | b
  解释：整除之间的关系，因为a能整除c，并且c能整除b，a>c>b那么a必然能整除b
  举例：2,4,8就是对应这样一种关系
• ③独立规则：p | ab => p | a 或者 p | b
  解释：显而易见，整除之间玩的就是倍数的关系，既然ab能被整除，所以ab之间必然有个与p是倍数关系，倍数再乘以一个无关要紧的数字，其本质就是将一个p的倍数再乘以一个倍数的意思。
• ④运算关系： c | a , c | b => c | a+b 或者c | a-b
  解释：因为c能整除a / b，那么也就是说c与ab都有倍数关系，所以当我们将两个与c有倍数关系的进行相加减其最后的结果肯定也是与c车呈倍数关系。本质就是倍数之间的运算。

素数

• 1既不是素数也不是合数（合数：就是除了1和素数之外都是合数，在自然数中大部分都是合数）
• 素数的判断规则：
  
  我们要判断一个n数字是否能被范围内[2,$\sqrt{n}$] 的素数整除，如果都不能则就是素数。
  所以步骤就是：1：求出$\sqrt{n}$，然后计算n是否能被[2,$\sqrt{n}$] 区间内的素数整除，如果都不能就表示是一个素数。
  注意：这里很容易搞混，p和n到底谁是我要判断的数字？我们事实上要判断的是n是否为素数，所以是把n缩小范围，然后求2-$\sqrt{n}$内是素数的数能否整除n就能够足以判断出n是否为素数。当然在编程的时候我经常直接判断该范围内的数字都不能整除n就表示为n是素数。
  所以n是我们要判断是否为素数的数字，p是我们找的用来判断是否是整除n的素数数字而已。

带余除法

• 定理如下：
  
  r 是余数，也就是a 被 b 除 余数为r
  解释：该定理引出了后面要介绍的欧几里得算法。

最大公因数（欧几里德算法）

在编程中求数之间的最大公因数一般用名字为：gcd(num1，num2…)的函数进行求解。

• 最大公因数表达形式：（a,b）= num
  用括号表示数字之间的最大公因数为num，当num = 1的时候，即最大公因数为1时，我们称括号内的数字为互素（并不是说这里的数字为素数，只是说他们之间是互素关系）
• 互素关系在信息安全与数学基础后面的应用非常重要
  （a1,a2,a3…an）= 1称a1,a2,a3…an互素。注意的是，这不是两两互素，与两两互素关系不一样，而是括号内所有数字之间都互素。

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• 因子规则：若 a | b 则 (a,b) = a
• 0规则： (0,b) = b
• 倍数规则：3(a,b) = (3a,3b)
• 传递规则：(a,b) = d, (d, c) = e => (a,b,c) = e
• 排他规则：已知c | ab 若(a,c) = 1 => c | b
  解释：a与c是互素的，很明显只有c能整除b才符合c | ab
• 缩减规则：d | a, d | b ，则可以 ↓
  
  通过上述可以得出：ab同时除以他们的最大公因数时，也就是代表着他们共同能够被整除的数字已经去除掉了，因此他们变成互素，最大公因数为1
  

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• 如何求最大公因数
  ①短除法
  最后最大公因数就是2 × 3 = 6
  

② 欧几里德算法（也称：辗转相除法）
在带余除法中：a = qb + c
其中：(a,b) = (b,c)
因此利用该特性，一直循环到c = 0的时候，上一条公式的c即算出了他们的最大公因数。
例子：（173,46） = 2

裴蜀等式

将欧几里德算法逆向迭代回去即裴蜀等式。
若： (a,b) = sa+tb，其中s和t就是我们使用了欧几里德算法后，再逆向迭代回去得出的s和t，用来表示ab的线性关系。
举例：

• 当ab互素的时候，就有：sa + tb = 1

最小公倍数

当m为给出的数字的倍数，并且是这些数字中能写出的倍数之中最小的称为最小公倍数。
如何求最小公倍数？

• ①使用短除法后，2 × 3 × 28 × 15 = 2520，相比找最大公因数就是再多乘了两个数
  
• ②当给出的数字互素时候，那么最小公倍数就是这些数字相乘
  比如：(a,b,c) = 1, [a,b,c] = a×b×c
• ③设： a , b， 最大公因数为：(a,b)
  在看上面的短除法中，其实是a,b都除了一个最大公因数，所以相当于除了两次最大公因数，但是最后又是将其2 和 3也算进去了，也就是说一共除了一次最大公因数，因此回到第三种方法的时候就是相当于总结了前面两种方法，直接将原来的两个数字出除一次最大公因数就是最小公倍数的结果。
  

❀标准分解式❀

例子：
100 = 2 × 2 × 5 × 5 = $2^2$×$5^2$
45 = 3 × 3 × 5 = $3^2$$5^1$
这就是将一个数分解为标准分解式
计算技巧：从2开始除，能一直除2就一直除，除不了就除3除4…以此类推，最后再统计每个数字出现的次数，次数就是该数字的次方。该数字出现0次的时候也将其算进去，也就是$n^0$。

标准分解式求最大公因数

以上述的100和45为例子，求(100, 45) = ?
计算出这两个数的标准分解式
100 = $2^2$×$3^0$×$4^0$×$5^2$
45 = $2^0$×$3^2$×$4^0$$5^1$
最大公因数就是找出每个数字对应标准分解式中：100中的2为底数的次方数为2,45中的2为底数的次方数为0，我们选择最小的次方数作为结果的乘积，同理100和45二者中，底数3最小的次方数也是0,4也是0,5是1，
所以100和45最大公因数为：$2^0$×$3^0$×$4^0$×$5^1$ = 5

标准分解式求最小公倍数

计算出这两个数的标准分解式
100 = $2^2$×$3^0$×$4^0$×$5^2$
45 = $2^0$×$3^2$×$4^0$$5^1$
最小公倍数和最大公因数正好相反，最大公因数在找数字作为乘积的时候是找次方数最小的那一个，那么在最小公倍数中我们要找的便是次方数最大的那个作为乘积。
最大公倍数：$2^2$×$3^2$×$4^0$×$5^2$ = 900