AtCoder Beginner Contest 277 F Sorting a Matrix

Sorting a Matrix

拓扑序

首先可以明确无论怎么交换行列，原本在同一行或者同一列的元素，还是会处于同一行或者同一列

• 条件一

每行每行地看，如果能满足从小到大的条件，说明第 \(i\) 行的值域 \([min_i, max_i]\) 与 第 \(i - 1\) 行的值域 \([min_{i - 1}, max_{i - 1}]\) 必然有以下关系：

\(max_{i - 1} \le min_i\)

因此提出每一行的值域范围，判断一下是否满足该条件，如果碰到 \(0\) 可以直接跳过，如果该行全 \(0\) 的话，记得特判一下（丢掉）

• 条件二

在同一行里，如果想做到从小到大，必然有一个偏序关系：如果有 \(a_{ij} < a_{ik}\)，那么第 \(j\) 列肯定在第 \(k\) 列的前面。因此对于每一行中的偏序关系都构建出来，如果这个偏序关系有拓扑序，则说明有解

记得要跳过 \(0\)

还有一个要处理的地方就是，如果同一行内有若干个数字等于 \(x\)，有若干个数字等于 \(x + 1\)，则构建偏序关系的时候是要两两相连的，显然复杂度会退化成 \(O(nm^2)\)

我的处理方式是缩点，然后构建边，就变成了 \(O(nm)\)

其实这题总结下来就是列和行的拓扑序若能保证，则有解

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <functional>
#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <stack>
#include <ctime>
#include <cstdlib>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pii pair<int, int>
const ll maxn = 2e6 + 10;
const ll inf = 1e17 + 10;

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n, m;
    cin >> n >> m;
    vector<vector<int>> matrix(n, vector<int>(m, 0)), gra(m + n * m);
    vector<int> in(m + n * m, 0);
    for(int i=0; i<n; i++)
        for(int j=0; j<m; j++)
            cin >> matrix[i][j];
    vector<array<int, 2>>leg(n);
    int tp = m - 1;
    for(int i=0; i<n; i++)
    {
        leg[i] = {n * m * 2, 1};
        int cnt = 0;
        for(int j=0; j<m; j++)
        {
            cnt += matrix[i][j] == 0;
            if(matrix[i][j] == 0) continue;
            leg[i][0] = min(leg[i][0], matrix[i][j]);
            leg[i][1] = max(leg[i][1], matrix[i][j]);
        }
        if(cnt == m) leg[i] = {1, 1};
        vector<array<int, 2>>a(m);
        for(int j=0; j<m; j++) a[j] = {matrix[i][j], j};
        sort(a.begin(), a.end());
        int l = 0, r = 0;
        while(l < m && a[l][0] == 0) l++;
        r = l;
        int pre = 0;
        while(l < m)
        {
            while(r < m && a[l][0] == a[r][0]) r++;
            tp++;
            for(int j=l; j<r; j++)
            {
                gra[a[j][1]].push_back(tp);
                in[tp]++;
            }
            if(pre) for(int j=l; j<r; j++)
            {
                gra[pre].push_back(a[j][1]);
                in[a[j][1]]++;
            }
            l = r;
            pre = tp;
        }
    }
    sort(leg.begin(), leg.end());
    int f = 1, now = 0;
    for(auto [l, r] : leg)
    {
        if(l < now) f = 0;
        now = r;
    }
    queue<int>q;
    for(int i=0; i<=tp; i++) if(in[i] == 0) q.push(i);
    while(q.size())
    {
        int now = q.front();
        q.pop();
        for(int nex : gra[now])
        {
            in[nex]--;
            if(in[nex] == 0) q.push(nex);
        }
    }
    for(int i=0; i<=tp; i++) if(in[i] > 0) f = 0;
    if(f) cout << "Yes" << endl;
    else cout << "No" << endl;
    return 0;
}