gym-103708E Erudite of words

Erudite of words

组合数学 + 容斥

定义 \(F_i\)：表示由 \(i\) 个字母组成的长度为 \(n\) 的单词数（每个字母必须在单词中出现）

显然答案就是 \(F_k * C_{m}^{k}\)

关于 \(F_i\) 的递推式：

\[F_i = i^n - \sum_{j=1}^{k-1}(C_{i}^{j} * F_j) \]

显然 \(i^n\) 代表 \(i\) 个字母随意摆放的情况，容斥地减去字母数为 \(1,2,3,...,i-1\) 的情况后，剩下的就是 \(F_i\)

大量计算组合数的时候，可以用递推预处理阶乘和阶乘逆元，询问组合数的时候就是 \(O(1)\)

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int maxn = 1e6 + 10;
const ll mod = 1e9 + 7;
ll fac[maxn], last[maxn], invfac[maxn];

ll qpow(ll x, ll n)
{
    ll ans = 1;
    while(n)
    {
        if(n & 1) ans = x * ans % mod;
        n >>= 1;
        x = x * x % mod;
    }
    return ans % mod;
}

ll cal(ll up, ll down)
{
    ll ans = fac[down] * invfac[up] % mod;
    ans = ans * invfac[down - up] % mod;
    return ans;
}

int main()
{
    ll n, m, k;
    cin >> n >> m >> k;
    fac[0] = 1;
    for(int i=1; i<maxn; i++) fac[i] = fac[i-1] * i % mod;
    invfac[maxn - 1] = qpow(fac[maxn - 1], mod - 2);
    for(int i=maxn-2; i>=1; i--)
        invfac[i] = invfac[i + 1] * (i + 1) % mod;
    invfac[0] = invfac[1];
    if(k > n) {cout << 0 << endl; return 0;}
    for(int i=1; i<=k; i++)
    {
        last[i] = qpow(i, n);
        ll ans = 0;
        for(int j=1; j<i; j++)
            ans = (ans + cal(j, i) * last[j]) % mod;
        last[i] = (last[i] - ans) % mod + mod;
        last[i] %= mod;
    }
    cout << cal(k, m) * last[k] % mod << endl;
    return 0;
}