AtCoder-abc254_f Rectangle GCD

Rectangle GCD

线段树 + gcd 性质

辗转相减法：如果 \(a\) 和 \(b\) 互质，则 \(a + b\) 和 \(|a - b|\) 也与 \(a\) 和 \(b\) 互质

由此我们可以得到 \(gcd(a, b) = gcd(a, |a - b|)\)

考虑，在第 \(i\) 行中，从 \(a\) 列到 \(b\) 列的 \(gcd\) 值就是

\(gcd(A_i + B_a, A_i + B_{a + 1}, A_i + B_{a + 2}, ... , A_i + B_b)\)

通过上述性质改变后：

\(gcd(A_i + B_a, B_{a + 1} - B_a, B_{a + 2} - B_{a + 1}, ... , B_b - B_{b - 1})\)

我们可以发现通过这种差分的 \(gcd\) 形式，可以把原本一行的 \(gcd\) 表达式中的 \(A\) 全部删掉（除了第一个），相同地，对于每一行，其表达式都是这样

为了再次简化，我们考虑将第一列的带有 \(A_i\) 的不加入行的计算，因此可以求每一行的第 \(a + 1\) 列到第 \(b\) 列的 \(gcd\)

剩下的所有行的第一个，可以当做一个列来计算，与行的计算相同

因此对于一个矩阵的 \(gcd\)，只需要计算行、列、左上角的点的 \(gcd\) 即可

这样的行列维护可以用线段树的操作进行

如果真的上面还看不懂（没有图片确实抽象），参考大佬的题解：https://zhuanlan.zhihu.com/p/524503584

注意写 \(gcd\) 的时候要记得处理 \(0\) 的情况，不然模 \(0\) 会 RE

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <functional>
#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pii pair<int, int>
const ll maxn = 2e5 + 10;
const ll inf = 1e17 + 10;
int num[2][maxn], tr[2][maxn << 2];
int dif[2][maxn];

int gcd(int x, int y)
{
    if(x > y) swap(x, y);
    while(x)
    {
        int temp = x;
        x = y % x;
        y = temp;
    }
    return y;
}

void build(int now, int l, int r)
{
    if(l == r)
    {
        tr[0][now] = dif[0][l];
        tr[1][now] = dif[1][l];
        return;
    }
    int mid = l + r >> 1;
    build(now << 1, l, mid);
    build(now << 1 | 1, mid + 1, r);
    for(int i=0; i<2; i++)
        tr[i][now] = gcd(tr[i][now << 1], tr[i][now << 1 | 1]);
}

int query(int now, int l, int r, int L, int R, int way)
{
    if(L <= l && r <= R)
        return tr[way][now];
    int mid = l + r >> 1, ans = 0;
    if(L <= mid) ans = query(now << 1, l, mid, L, R, way);
    if(R > mid) ans = gcd(ans, query(now << 1 | 1, mid + 1, r, L, R, way));
    return ans;
}

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n, q;
    cin >> n >> q;
    for(int i=0; i<2; i++) for(int j=1; j<=n; j++) cin >> num[i][j];
    for(int i=0; i<2; i++) for(int j=1; j<=n; j++) dif[i][j] = abs(num[i][j] - num[i][j-1]);
    build(1, 1, n);
    while(q--)
    {
        int h1, h2, w1, w2;
        cin >> h1 >> h2 >> w1 >> w2;
        int ans = num[0][h1] + num[1][w1];
        if(h1 != h2) ans = gcd(ans, query(1, 1, n, h1 + 1, h2, 0));
        if(w1 != w2) ans = gcd(ans, query(1, 1, n, w1 + 1, w2, 1));
        cout << ans << endl;

    }
    return 0;
}