HDU-4315 Climbing the Hill

Climbing the Hill

阶梯博弈

一开始觉得可以以后面那个紧跟前面那个的操作，就联想到了阶梯博弈，但是一想到阶梯博弈只能一个个走，这个能全部一起走，就放弃了这个想法，没想到最后居然真的是阶梯博弈

我们将所有的人从后往前两两分组，如果最前面有一个是落单的话，就假设有一个石子在终点处与它组队。

两两分组之后，我们可以发现，如果前面的人移动了，后面的人也可以跟着移动，因此相较于阶梯博弈，一组内，两个人的之间的格子数可视为阶梯博弈中奇数台阶的石子数。而组与组之间的格子数可视为偶数台阶的石子数，并不会对答案造成影响。

对于分组：假设人的编号为 1 到 n

对于 n 为偶数的情况： \((a_1,a_2)\),\((a_3,a_4)\),...,\((a_{n-1},a_n)\)

对于 n 为奇数的情况： \((a_0,a_1)\),\((a_2,a_3)\),...,\((a_{n-1},a_n)\)

以上其实我在看其他题解的时候也会产生一个疑惑，king 所在的位置真的对博弈结果没有影响吗？

1. king 在小组的后一个位置，跟随着上述的策略，显然是没有影响的

2. king 在小组的前一个位置 且 k > 2 时，在最终的状态下，必然会出现 \(a_{k-2} = 0\) 的情况，此时的玩家，必然不可能将 \(a_{k-1}\) 直接放到 0 的位置上去，因为对手肯定直接就赢了；因此此时的玩家必然会将其置为 1，逼迫对手去将这个置为 0。这个操作下，先前是必胜态的玩家仍是必胜态，并不影响

3. 补充第 2 点的情况：当 king 处于小组的前一个位置，但是 king 前面并没有 2 个人，即 n 为奇数 且 \(k = 2\) 的情况：易分析，第一个人，操作者只能将其移动到 1，不能移动到 0，理由与 2 中一样。因此对于第一个棋子，他的最终结束状态是 1，而不是 0，所以其 sg 应该是 \(a_1 - 1\)

综上：

• 当 \(k = 1\) 的时候，显然不需要博弈，先手必胜

• 当 n 为奇数，且 k = 2 的时候，第一个组的 sg 值应该为 \(a_1 - 1\)，而不是通解中的 \(a_1\)，所以要减一

#include <iostream>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 1010;
int num[maxn];

int main()
{
    ios::sync_with_stdio(false);
    cin.tie(0);
    cout.tie(0);
    int n, m;
    while(cin >> n >> m)
    {
        for(int i=1; i<=n; i++) cin >> num[i];
        if(m == 1) {cout << "Alice" << endl; continue;}
        int ans = 0;
        if(n % 2 == 0)
        {
            for(int i=1; i<=n; i+=2)
                ans ^= (num[i+1] - num[i] - 1);
        }
        else
        {
            ans = num[1];
            if(m == 2) ans--;
            for(int i=2; i<=n; i+=2)
                ans ^= (num[i+1] - num[i] - 1);
        }
        if(ans) cout << "Alice" << endl;
        else cout << "Bob" << endl;
    }
    return 0;
}