HDU-5358 First One

First One

给出n组数，下标从1到n，求一个表达式\(\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=i}^{n}(⌊log_2​S(i,j)⌋+1)×(i+j)\)

函数\(s(i, j)\)指的是区间\([i,j]\)的和

尺取法

这题的难点在于

1. 如何发现他是尺取

首先我们的第一反应就是暴力，然后暴力会超时

接着观察公式有两个项，如果是通过第二个项枚举\((i + j)\)就是一个\(O(n^2)\)的暴力

如果我们是通过第一个项去枚举，就会发现，我们只要把区间和在\([2^k,2^{k-1})\)的所有区间下标i + j的和求出来，答案就很容易求出来了

求这样的连续区间，可以用尺取的方法，总共扫\(log(sum)\)次就可以了，时间复杂度应该是\(O(nlog(\sum_{i=1}^{n}a_i))\)

2. 尺取的细节

我们使用尺取的时候，其实很难去计算区间和在\([2^k,2^{k-1})\)的数量，但是我们可以找到区间和在\([0,2^{k-1})\)，因此只需要用类似于前缀和的方式就行

由于我们要考虑所有的区间\(i+j\)，因此需要设置一个数组\(pre[i]\)来实现上述做法，\(pre[i]\)记录的是上一次区间和为\([0, 2^k)\)的，且区间左端为\(i\)的最大右端可以延伸到哪里

注意要开longlong

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
#include <vector>
#include <string>
#include <queue>
#include <functional>
#include <map>
#include <set>
#include <cmath>
#include <cstring>
#include <deque>
#include <stack>
using namespace std;
typedef long long ll;
#define pii pair<int, int>
const ll maxn = 2e5 + 10;
const ll inf = 1e17 + 10;
int pre[maxn], num[maxn];

int main()
{
    int t;
    scanf("%d", &t);
    while(t--)
    {
        int n;
        scanf("%d", &n);
        ll sum = 0;
        for(int i=1; i<=n; i++)
        {
            scanf("%d", &num[i]);
            pre[i] = i;
            sum += num[i];
        }
        ll ans = 0, k = 0, cur = 1;
        while(k <= sum)
        {
            k = max(2ll, k << 1);
            int l = 1, r = 1;
            ll now = 0, cnt = 0;
            while(l <= n)
            {
                while(r <= n && now + num[r] < k)
                    now += num[r++];
                ll len = r - pre[l];
                cnt += (pre[l] + pre[l] + len - 1) * len / 2;
                cnt += len * l;
                pre[l] = r;
                now -= num[l++];
            }
            ans += cnt * cur;
            cur++;
        }
        printf("%lld\n", ans);
    }

    return 0;
}