HDU-3537 Daizhenyang's Coin

Daizhenyang's Coin

有连个人互相博弈，给出若干个硬币，其中有 \(n\) 个硬币正面朝上，其余背面朝上，每个人每次操作：选择 1、2、3 个（可不连续）的硬币，将其翻面。并保证最左边的硬币一定得是由正面朝上翻转到背面朝上，如果没有办法进行操作，则判定输，求判断当前是否是先手必输

翻硬币博弈

这种类型的问题有一个定理：局面的SG 值为局面中每一个正面朝上的棋子单一存在时的SG 值的异或和

设当前正面朝上的硬币为1，背面朝上的硬币为0，则当前问题 [01100101] 可以分解为子问题 [01], [001], [000001], [00000001]，则可以视为 sg[01100101] = [01] ^ [001] ^ [000001] ^ [00000001]

于是就可以根据题目的要求推导一下sg函数：

#include <iostream>
#include <cstdio>
using namespace std;
const int maxn = 1e5 + 10;
int sg[maxn];
int vis[maxn], num[maxn];

int main()
{
    int n = 10;
    sg[0] = 1;
    sg[1] = 2;
    sg[2] = 4;
    for(int i=3; i<=n; i++)
    {
        for(int j=0; j<maxn; j++) vis[j] = 0;
        vis[0] = 1;
        for(int j=0; j<i; j++)
        {
            for(int k=0; k<i; k++)
            {
                if(j == k) vis[sg[j]] = 1;
                else vis[sg[j] ^ sg[k]] = 1;
            }
        }
        for(int j=0; j<maxn; j++)
        {
            if(vis[j] == 0)
            {
                sg[i] = j;
                break;
            }
        }
    }
    for(int i=0; i<=n; i++)
    {
        cout << i << " : " << sg[i] << endl;
    }
    return 0;
}

经过观察发现，所有的 sg[x] 都等于 2x 或者 2x + 1，但是没有办法知道什么时候是 2x 什么时候是 2x + 1

但是我们如果把 x 换成二进制数，就会发现，如果有奇数个 1，则 sg[x] = 2x，否则为 sg[x] = 2x + 1

哎，但是实际的证明还是没看懂：https://www.cnblogs.com/jiangjing/p/3764802.html

同时该题的题目说了会给出重复的正面硬币朝上的情况，所以要进行去重

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <algorithm>
using namespace std;
const int maxn = 110;
int num[maxn];

int main()
{
    int n;
    while(scanf("%d", &n) != EOF)
    {
        int sum = 0;
        for(int i=0; i<n; i++) scanf("%d", &num[i]);
        sort(num, num + n);
        int tp = 0;
        for(int i=1; i<n; i++)
            if(num[i-1] != num[i])
                num[++tp] = num[i];
        for(int i=0; i<=tp; i++)
        {
            int x = num[i];
            int xx = x;
            int cnt = 0;
            while(xx)
            {
                cnt += xx & 1;
                xx >>= 1;
            }
            if(cnt & 1) x <<= 1;
            else x = x << 1 | 1;
            sum ^= x;
        }
        printf("%s\n", (sum && n) ? "No" : "Yes");
    }
    return 0;
}