POJ 3903 Status List (LIS，O(nlogn))

LIS：Longest Increasing Subsequence 最长上升子序列

昨天用O(n^2)的方法做了HDU的导弹题，同样的，求LIS还有O(nlogn)的优化方法。

在这里，我们用sub保存一个最长上升子序列，top表示其长度。我们要做的就是让top尽可能的大。

算法：

每次输入一个数x，判断它和sub顶部的元素大小关系。

if x = sub[top] then

　　sub[++top] <- x

else

　　sub[第一个比x大的元素位置] <- x

于是，这变得有些不像DP了。而查找第一处比x大的元素位置，又可以使用二分法优化，于是整体的复杂度就为O(nlogn)了。

援引百度知道lydrainbowcat的解释：

整体的理解难点在理解sub是单调的，我们可以想，随着长度的增长，sub[top]中的元素会变小，为什么？ 因为在最长不上升子序列中，不下降就可以意味这下降，下降得越多，就是top越大，当然sub[top]就越小

 

给出我的代码：

#include <iostream>
using namespace std;

const int MAXN = 100005;
int num, sub[MAXN];

int main()
{
    int n, top;
    while(cin >> n)
    {
        sub[0] = -1; //考虑到第一个元素可能是0
        top = 0;
        for(int i = 0; i < n; i++)
        {
            cin >> num;
            if(num > sub[top])
            {
                sub[++top] = num;
            }
            else
            {
                //此处是二分优化
                int high = top, low = 1, mid;
                while(low <= high)
                {
                    mid = (high + low) / 2;
                    if(num > sub[mid])
                    {
                        low = mid + 1;
                    }
                    else
                    {
                        high = mid - 1;
                    }
                }
                sub[low] = num;
            }
        }
        cout << top << endl;
    }
    return 0;
}

另外感谢一下slyar，这个将sub[0]置为-1的想法是从他那看到的。另外，slyar的一些文章很不错，大家可以去翻翻（广告一下~）。