na 斐波那契数列f(f(n))

题目描述：
给出T个n，求斐波那契数列的f(f(n)).（答案取模1e9+7）
数据范围：
100% 1<=n<=10¹⁰⁰

数据好大，那么这题一定有规律。
首先先要了解一个关于斐波切数列的性质，即斐波那契数列 ( 取模 ) 的周期性。
解释一下：就是斐波那契数列对于Mod取模后构成的数列，具有周期性。

对于这道题，我们就可以利用斐波那契数列的这个性质。
f(f(n))，最后要对MOD=1e9+7取模，我们先求一下菲波那切数列对于1e9+7的周期T1。
那么ans=f(f(n))%MOD=f(f(n)%T1)%MOD

n<=10¹⁰⁰，我们还需要把n的问题解决；
再利用斐波那契数列的周期性，求出f(n)%T1的周期T2
那么ans=f(f(n%T2)%T1)%MOD

问题就解决啦！

求周期的代码：

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<vector>
#define ull unsigned long long
using namespace std;
long long a,b,c,T=0,MOD;
int main()
{
    cin>>MOD;
    a=1,b=2;T=3;
    while((a!=1)||(b!=1))
    {
        c=(a+b)%MOD;
        a=b;
        b=c;
        T++;
    }
    T-=2; 
    printf("%lld\n",T);//T就是f关于MOD的周期
    return 0;
}

AC代码

#include<iostream>
#include<cstdio>
#include<cstring>
#define MO1 1000000007
#define MO2 2000000016
#define MO3 329616
#define LL long long
using namespace std;
char nn[1000];
int T;
LL n;
LL A[3][3]={0,0,0,
            0,0,1,
            0,1,1,};
LL f[3][3],bak[3][3];
LL Fast_Pow(LL k,LL MOD)
{
    f[1][1]=1,f[1][2]=1;
    f[2][1]=0,f[2][2]=0;

    A[1][1]=0;A[1][2]=A[2][1]=A[2][2]=1;
    if(k<=2) return 1;
    k-=2;
    while(k)
    {
        if(k%2) 
        {
            for(int i=1;i<=2;i++)
            for(int j=1;j<=2;j++)
            bak[i][j]=f[i][j],f[i][j]=0;
            for(int i=1;i<=2;i++)
            for(int j=1;j<=2;j++)
            for(int l=1;l<=2;l++)
            (f[i][j]+=bak[i][l]*A[l][j]%MOD)%=MOD;
        }
        for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int j=1;j<=2;j++)
        bak[i][j]=A[i][j],A[i][j]=0;
        for(int i=1;i<=2;i++)
        for(int j=1;j<=2;j++)
        for(int l=1;l<=2;l++)
        (A[i][j]+=bak[i][l]*bak[l][j]%MOD)%=MOD;

        k/=2;
    }
    return f[1][2];
}
int main()
{
    freopen("na.in","r",stdin);
    freopen("na.out","w",stdout);
    scanf("%d",&T);
    while(T--)
    {
        scanf("%s",nn);n=0;
        for(int i=0;i<strlen(nn);i++) n=(n*10+(nn[i]-'0'))%MO3;

        LL ans1=Fast_Pow(n,MO2);//求fn%MO2 
        LL ans2=Fast_Pow(ans1,MO1);//求fans1%MO1 
        printf("%lld\n",ans2);
    }
    return 0;
}