P1313 计算系数 [纯数学]

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[NOIP2011 提高组] 计算系数 题目复制:

题目描述

给定一个多项式 $(by+ax{)}^k$，请求出多项式展开后 $x^n\times y^m$ 项的系数。

输入格式

输入共一行，包含 $5$ 个整数，分别为 $a,b,k,n,m$，每两个整数之间用一个空格隔开。

输出格式

输出共一行，包含一个整数，表示所求的系数。

这个系数可能很大，输出对 $10007$ 取模后的结果。

样例 #1

样例输入 #1

1 1 3 1 2

样例输出 #1

3

提示

【数据范围】

对于 $30\mathrm{\%}$ 的数据，有 $0\le k\le 10$。

对于 $50\mathrm{\%}$ 的数据，有 $ a=1$，$b=1$。

对于 $100\mathrm{\%}$ 的数据，有 $0\le k\le 1000$，$0\le n,m\le k$，$n+m=k$，$0\le a,b\le {10}^6$。

noip2011 提高组 day2 第 1 题。

本题的解题方式主要是依据二项式定理:

$$(x+y{)}^n=(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{0})x^n{y}^2+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{1})x^{n-1}{y}^1+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{2})x^{n-2}{y}^2+......+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n-1})x^1{y}^{n-1}+(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{n})x^0{y}^n$$

其中每个 $(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})$ 为一个称作二项式系数的特定正整数，其等于 $\frac{n!}{k!(n-k)!}$ 。这个公式也称二项式公式或二项恒等式。使用求和符号，可以把它写作

$$(x+y{)}^n=\sum _{k=0}^n(\genfrac{}{}{0ex}{}{n}{k})x^k{y}^{n-k}$$

直接模仿我刚学会的二项式定理,带入,可以得出：

$$C_k^n{a}^n{b}^m{x}^n{y}^m$$

而组合数可以递推的求：

$$C_n^m=C_{n-1}^m+C_{n-1}^{m-1}$$

直接模拟:

#include <iostream>
#include <cstdio>
#include <cmath>
#include <algorithm>
 
using namespace std;
 
// 快速幂，写模板
long long pow_fast(long long x, long long n) {
	if(n==0) {
		return 1;
	}
	long long t = pow_fast(x, n/2)%10007;
	if(n&1) {
		return t*t%10007*x%10007;
	} else {
		return t*t%10007;
	}
}
 
// 存储递推后的组合数
long long c[1005][1005] = {};
 
int main() {
	int a, b, k, n, m;
	cin >> a >> b >> k >> n >> m;
	
	// 初始化
	c[0][0] = c[1][0] = c[1][1] = 1;
	// 递推求组合数
	for(int i=2; i<=k; i++) {
		for(int j=0; j<=i; j++) {
			if(j==0) {
				c[i][j] = 1;
			} else {
				c[i][j] = (c[i-1][j]+c[i-1][j-1])%10007;
			}
		}
	}
	// 直接输出
	cout << c[k][n]*pow_fast(a, n)%10007*pow_fast(b, m)%10007 << endl;
	return 0;
}

练习 $LATEX$ 真是有点难度，入门不容易而已