分治FFT“自己卷自己”形/[CTSC2018]青蕈领主
众所周知分治FFT可以用来解决这样的问题
其中 \(G(x)\) 是一个已知的多项式
但是有的时候我们会遇到这样的情况，\(G(x)\) 的系数依赖与 \(F(x)\) 的 \(1\sim i-1\) 次项系数，这个时候直接分治FFT就不太行了
这里讨论的就是这种分治FFT“自己卷自己”形的一般性的处理方法
这里讨论的是
设 \(G(x)=F(x)\)显然另外的情况都可以表示成这个样子。
在这种情况下，不能直接运用之前的做法的一个原因是，在 \(f[l,mid]\) 向 \(f[mid+1,r]\) 转移的时候，实际上需要的 \(g[mid+1,r]\) 这一部分我们还没有。
考虑这个问题什么时候会出现，也就是 \(r-l\geq l\) 的时候。根据分治的过程我们不难发现这个等价于 \(l=1\)。
所以在 \(l>1\) 的时候我们应该是按之前的做就可以
但是 \(l=1\) 的时候因为不知道有半部分，所以只能 \([l,mid]\) 和 \([l,mid]\) 进行转移，在后面我们再把转移补偿回来。
所以这个时候再 \(l>1\) 的时候需要相应的进行改变
具体的流程是：
- \(l=1\)，直接 \([l,mid]\) 和 \([l,mid]\) 卷，累加到 \(f[mid+1,r]\) 上
- \(l\neq 1\)，先 \(f[l,mid]\) 和 \(g[l,r]\) 卷，累加到 \(f[mid+1,r]\) 上，再 \(g[l,mid]\) 和 \(f[l,r]\) 卷，累加到 \(f[mid+1,r]\)
这个不太好理解，我们可以想像对于 \([x+1,r]\)，他相当于是 \(f_i\) 和 \(g_j\) 转移过来的
那么有可能是 \(i,j\) 都在 \([l,x]\)，也有可能是 \(i\) 和 \(j\) 有一个在 \([x+1,r]\) 里。
上面两类可以理解为对应了两种转移。
下面是一道例题
P4566 [CTSC2018]青蕈领主
首先判断无解的情况，\(a_n\neq n\) 或者有两个区间相交
否则一定有解，为什么，猜。
对于每一个区间，他会直接包含一些区间，并且这些直接包含的区间并起来加上右端点就是这个区间
所以实际上可以表示成一个树形结构，每一个子树里的编号都是连续的
现在要求一个点的两个儿子之间不能是连续的，所以对于每一个点，可以把这个点和他们的儿子按照大小关系重新编号一下，相当于是求一个 \(L_i\) 是 \(1,1,1,\cdots x+1\) 的排列的个数（\(x\) 是儿子的个数）
考虑如何解决这个问题，事实上，直接解决是困难的。
但是我们注意到他的反排列 \(a_{-1}\) 满足 \(a^{-1}_{a_i}=i\)，如果 \(a_i\) 在 \([L,R]\) 上是连续的，那么 \(a^{-1}_i\) 一定在 \([\alpha,\beta]\) 上是连续的。
如果 \(a_i\) 的 \(L\) 是 \(1,1,1,1,x-1\) 的话，那么 \(a^{-1}\) 的长度大于1的连续区间只能有一个，并且必须包含这个区间的最大值。
并且反排列和原排列是一一对应的
我们现在用 \(f_i\) 表示长度为 \(i+1\)（注意长度） 的，连续区间长度大于1的连续区间包含区间最大值的排列的方案数
考虑从 \(i-1\) 到 \(i\) 的转移。
- 如果 \(i-1\) 构成的排列合法：
我们考虑最大值除了在 \(i\) 两边的位置以外都可以插进去，所以有 \(i-1\) 种选法，转移量就是 \((i-1)f_{i-1}\) - 如果 \(i-1\) 构成的排列不合法：
事实上，这也代表着这个排列包含最大值的最长连续区间就是 \(1\) 和 \(i\)
这个时候 \(i-1\) 构成的排列只有可能有一个不包含 \(i\) 的连续区间，现在我们要插入一个最大值 \(i+1\) 让他不合法。
设这个连续的区间（值域）是 \([x,x+l-1]\)，注意到，对于 \(i+1\) 和 \([x,x+l-1]\)，把他们重新标号一下实际上就是 \(l+1\) 的长度的 \(f\) ，即 \(f_l\)。
考虑 \(x,l\) 应当满足的条件，由 \(x+l-1<i\) 可知 \(l\leq i-2,x\) 有 \(i-l-1\) 种选法
我们把 \([x,x+l-1]\) 看成一个点，继续和剩下的 \(i-l\) 个位置排序，这样转移量就是 \(f_{i-l}\)
这样我们就得到了最终的转移
\(f_0=1,f_1=2\)
这个式子就和上面那个式子非常的像了，为了方便我们还可以把他改写一下
现在就是完全一样了
点击查看代码
#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
# define Rep(i,a,b) for(int i=a;i<=b;i++)
# define _Rep(i,a,b) for(int i=a;i>=b;i--)
# define RepG(i,u) for(int i=head[u];~i;i=e[i].next)
const int N=1<<17;
const int mod=998244353;
typedef long long ll;
typedef double db;
# define chkmax(a,b) a=max(a,b)
# define chkmin(a,b) a=min(a,b)
# define PII pair<int,int>
# define mkp make_pair
template<typename T> void read(T &x){
x=0;int f=1;
char c=getchar();
for(;!isdigit(c);c=getchar())if(c=='-')f=-1;
for(;isdigit(c);c=getchar())x=(x<<1)+(x<<3)+c-'0';
x*=f;
}
int t,n;
int a[N];
int f[N],g[N];
int A[N],B[N];
int pos[N],tmp[N];
int stk[N],top;
int inc(int x,int y){
return x+y>=mod?x+y-mod:x+y;
}
int dec(int x,int y){
return x-y<0?x-y+mod:x-y;
}
int Qpow(int base,int ind){
int res=1;
while(ind){
if(ind&1)res=1ll*res*base%mod;
base=1ll*base*base%mod;
ind>>=1;
}
return res;
}
void init(int limit){
for(int i=1;i<limit;i<<=1)for(int j=0;j<i;j++)pos[i+j]=pos[j]+limit/i/2;
}
void NTT(int* A,int limit,int opt){
for(int i=0;i<limit;i++)tmp[pos[i]]=A[i];
for(int i=0;i<limit;i++)A[i]=tmp[i];
for(int i=1;i<limit;i<<=1){
int len=i<<1;
int g0=Qpow(opt==1?114514:137043501,(mod-1)/len);
for(int j=0;j<limit;j+=len)
for(int k=0,g=1;k<i;k++,g=1ll*g*g0%mod){
int x=A[j+k],y=1ll*A[j+k+i]*g%mod;
A[j+k]=inc(x,y);
A[j+k+i]=dec(x,y);
}
}
if(opt==-1){
int inv=Qpow(limit,mod-2);
for(int i=0;i<limit;i++)A[i]=1ll*A[i]*inv%mod;
}
}
void kakeru(int* A,int* B,int limit){
NTT(A,limit,1),NTT(B,limit,1);
for(int i=0;i<limit;i++)A[i]=1ll*A[i]*B[i]%mod;
NTT(A,limit,-1);
}
void solve(int l,int r){
if(l==r){
if(l!=1)f[l]=dec(f[l],1ll*dec(l,3)*f[l-1]%mod);
g[l]=1ll*f[l]*(l-1)%mod;
return;
}
int mid=l+r>>1;
solve(l,mid);
if(l==1){
int limit=1;
while(limit<=2*mid)limit<<=1;
Rep(i,1,mid)A[i]=f[i],B[i]=g[i];
init(limit);
kakeru(A,B,limit);
Rep(i,mid+1,r)f[i]=inc(f[i],A[i]);
for(int i=0;i<limit;i++)A[i]=B[i]=0;
}
else{
int limit=1;
while(limit<=mid-l+1+r-l+1)limit<<=1;
init(limit);
Rep(i,l,mid)A[i-l]=f[i];
Rep(i,1,r-l)B[i]=g[i];
kakeru(A,B,limit);
Rep(i,mid+1,r)f[i]=inc(f[i],A[i-l]);
for(int i=0;i<limit;i++)A[i]=B[i]=0;
Rep(i,l,mid)A[i-l]=g[i];
Rep(i,1,r-l)B[i]=f[i];
kakeru(A,B,limit);
Rep(i,mid+1,r)f[i]=inc(f[i],A[i-l]);
for(int i=0;i<limit;i++)A[i]=B[i]=0;
}
solve(mid+1,r);
}
int main()
{
# ifdef YuukiYumesaki
freopen("testdata.in","r",stdin);
freopen("test1.out","w",stdout);
# endif
read(t),read(n);
f[0]=1,f[1]=2;
solve(1,n);
while(t--){
int ans=1;
Rep(i,1,n)read(a[i]);
if(a[n]!=n){puts("0");continue;}
top=0;
bool flag=true;
Rep(i,1,n){
int x=0;
while(top&&stk[top]-a[stk[top]]>=i-a[i])top--,x++;
ans=1ll*ans*f[x]%mod;
if(top&&stk[top]!=i-a[i]){flag=false;break;}
stk[++top]=i;
}
if(!flag)puts("0");
else printf("%d\n",ans);
}
return 0;
}
