数据结构与算法分析-第1章
数据结构与算法分析-第1章
Table of Contents
1 第1章-引论
1.1 数学知识复习
1.1.1 指数
- \(X^AX^B=X^{A+B}\)
- \(\frac{X^A}{X^B}=X^{A-B}\)
- \((X^A)^B=X^{AB}\)
- \(X^N+X^N=2X^N \ne x^{2n}\)
- \(2^n+2^n=2^{n+1}\)
1.1.2 对数
- 在计算机科学中,除非有特别声明,所有的对数都是以2为底的.
- 定义: \(x^a=b\) ,当且仅当 \(\log_xb=a\),得
- \(log_AB=\frac{\log_cB}{\log_cA}\);\(c>0\)
- \(\log{AB}=\log{A}+\log{B}\)
- \(\log\frac{A}{B}=\log{A} - \log{B}\)
- \(\log(A^B)=B\log{A}\)
- \(\log{X}
- \(\log1 = 0\),\(\log2=1\),\(\log1024=10\),\(\log1048576=20\).
1.1.3 级数
- \(\sum_{i=0}^N2^i=2^{N+1}-1\),等比数列求和公式
- \(\sum_{i=0}^NA^i=\frac{A^{N+1}-1}{A-1}\)
- 如果 \(0
- 如果 \(0
- 分析中另一种常用类型的级数是算术级数.任何这样的级数都可以通过基本公式计算其值.
- \(\sum_{i=1}^Ni=\frac{N(N+1)}{2}\approx\frac{N^2}{2}\)
- \(\sum_{i=1}^Ni^2=\frac{N(N+1)(2N+1)}{6}\approx\frac{N^3}{3}\)
- \(\sum_{i=1}^Ni^k\approx\frac{N^{k+1}}{|k+1|}\), \(k \neq -1\)
- 调和数: \(H_N=\sum_{i=1}^N\frac{1}{i}\approx\log_eN\),其和叫做调和和.
1.1.4 模运算
- 如果N整除 \(A-B\), 那么我们就说A与B模N同余(congrument),记为 \(A\equiv B(mod N)\).
- \(81 \equiv 61 \equiv 1(mod 10)\)
- 如果\(A\equiv B(mod N)\), 则 \(A+C\equiv B+C(mod N)\) 以及\(AD\equiv BD(mod N)\)
1.1.5 证明方法
- 归纳法进行证明有两个标准部分
- 第一步是证明基准情形(base case),就是确定定理对于某个(某些)小的(通常是退化)值的正确性.
- 第二步是进行归纳假设.一般来说假设定理对某个有限数k的所有情况都成立,则定理对下一个值(通常是k+1)也从成立.
- 反证法证明: 假设定理不成立,然后证明该假设倒置某个已知的性质不成立,从而说明原假设是错误的.
1.2 递归简论
- 递归的两个基本法则
- 基本情形(base case)
- 不断推进(making process)
- 递归的四条基本原则
- 基准情形
- 不断推进
- 设计法则: 假设所有的递归调用都能运行.
- 合成效益法(compound interest rule),在求解一个问题的同一个实例时,切勿在不同的递归调用中做重复性的工作.
2 练习题
2.1 1.5 证明下列公式:
- \(\log{X} < X\) 对所有的 \(X>0\) 成立.
归纳基础: 当 0<X ≤ 1 时, 因为X=1/2时, log1/2=-1<1. X=1时, log1=0<1. X为负数时, logX的值不存在.所以 0<X ≤ 1时, logX < X成立.
归纳假设: 假设命题对任意正数p(p ≥ 1), p ≤ X ≤ 2p时候命题成立,求证对于任意正整数p, 2p ≤ X ≤ 4p 命题成立.
设Y=2X, logY = log(2*Y/2) = log2 + log(Y/2) = 1 + log X, 又因为 log X < X, 则 logY = log X + 1 < X + 1.
所以对于任意正整数p, 2p ≤ X ≤ 4p 时, 命题 logX < X 成立.
- \(\log(A^B)=BlogA\)
令X=logA, 2X=A. 令Y=log(AB), 2Y = AB.
所以 2Y = AB = 2XB, 所以BX=Y.
又因为 X=logA,Y=log(AB)
所以 log(AB)=BlogA
2.2 1.6 求下列各和
- \(\sum_{i=0}^{\infty}\frac{1}{4^i} = \frac{1(1-\frac{1}{4}^n)}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4}{3}(1-\frac{1}{4}^n)\approx\frac{4}{3}\)
- \(\sum_{i=0}^{\infty}\frac{i}{4^i}\)
- \(S=0+\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}\ldots+\frac{i}{4^i}\)
- \(4S=0+1+\frac{2}{4}+\frac{3}{4^2}+\frac{4}{4^3}\ldots+\frac{i+1}{4^i}\)
- \(3S=1+\frac{1}{4}+\frac{2}{4^2}+\frac{3}{4^3}\ldots+\frac{i}{4^i}=1+\frac{\frac{1}{4}(1-\frac{1}{4^i})}{1-\frac{1}{4}},i\to\infty\)
- \(S\approx\frac{4}{9}\)
