天为什么是蓝色——纯正的天蓝色是什么样的？

今日不少北京的朋友在朋友圈晒出了漂亮的晚霞，欣赏美景之余不禁好奇，为何晚霞是红色呢？GPT 给出的回答无非绕不开瑞利散射对波长特性不一致，而落日时角度使得光路长度不一致，进而导致晚霞红色。但进一步深究，光路长度怎么影响到波长？傍晚红光穿透力强，蓝光被散射了，为何直射天空是蓝色的？GPT 就开始胡扯了。

晚霞是红色分析非常复杂，因为显然除了角度外，云层是必要的因素，涉及云那可就复杂多了。转念一想，我连为什么直射天是蓝色的也弄不清楚啊！网上说由于瑞利散射，波长小的散射效应更加明显，蓝光比红光波长小，容易被散射，蓝光被散射到处都是，天空就是蓝色啦。但可见光内紫光比蓝光波长不是更短吗，为什么天空不是紫色呢？

理论分析

光的传播离不开光源-介质-接收器，后文便也按这个思路分析：

光源：黑体辐射

太阳发光近似看作黑体，黑体辐射的波长-光强满足普朗克定律：

\[I(\lambda, T) = \frac{2 h c^2}{\lambda^5} \frac{1}{e^{\frac{h c}{\lambda k_B T}} - 1} \]

关于黑体：黑体能够吸收任意波长的入射电磁波，同时辐射的电磁波满足普朗克定律。说到黑体，印象中往往只要温度不变辐射就满足固定分布，这背后同时也隐含着吸收的能量，因为温度不变下，辐射能量完全等于吸收能量，吸收和辐射是一体俩面的。太阳能够近似为黑体，也源自极其的吸收能力。

太阳的温度约为 5778 K，其辐射曲线（光谱）如下：

其中绿色是可见光波长范围（380-780nm），选取了三个点，分别代表典型的紫光（410nm）、蓝光（475nm）以及红光（685nm）的波长。

可以看到蓝光的波长接近辐射极大值，这是否是天空呈现蓝色的原因呢？且待后文进一步分析。

关于光谱：光谱的概念很像频域，如果按频域的概念，信号实际上是一堆在正交坐标系下分解的分量的叠加（加权和），横坐标代表频域，纵坐标代表该频率分量大小，则原始信号则是按照某种加权积分（傅里叶逆变换）。但光并非可以简单叠加不同频率的成分，绘制光谱暗含了假设各个成分是非偏振的。这个理解很合理，因为正交意味着相互垂直，没有投影，互不干扰，只有非偏振，各向振幅随机才能满足该性质。

介质：瑞利散射

瑞利散射描述了散射下角度、波长以及光强之间的关系。什么是散射？听名称，散射既改变了传播方向，又增加了传播路径的数量，也就是折射plus。全反射也是“聚是一团火，散是满天星”，全反射是否也是散射呢？询问 GPT 老师，散射还隐含着偏向性，即各向异性的，而全反射是各向同性的。所以散射是改变了传播方向、增加了传播路径数量且满足各向异性的一种玩意儿。

弄明白散射再来看看瑞利散射，其公式如下：

\[I_s = I_0 \frac{1 + \cos^2 \theta}{2R^2} \left( \frac{2\pi}{\lambda} \right)^4 \left( \frac{n^2 - 1}{n^2 + 2} \right)^2 r^6 \]

其中 \(I_0\) 是原始光强，\(\theta\) 是散射角（散射方向和原始方向夹角），\(R\) 代表接受距离散射点距离，\(r\) 代表散射粒子半径。

抽离和波长相关的部分，散射强度和波长 \(\lambda\) 成四次方反比，假设 \(\lambda \rightarrow 0\)，岂不是有光强 \(I_s \rightarrow \infty\) 的离谱结论？原来瑞利公式成立需要满足 \(r << \lambda\)，散射粒子足够小，远远小于波长。空气分子尺寸大概在 0.1~1 nm 数量级，远远小于可见光 100nm 的量级，瑞利散射成立。但对于 PM 2.5，2.5um 左右的颗粒就不满足瑞利散射的条件了我知道是达尔文效应（雾）。

从散射角看，\(\theta\) 为 0 或 180 ° 时角度因子最大，90 ° 时因子最小，也就是散射光在正向或者反向强度最大，在侧向最小。

实际光线经过厚厚的大气层，不断散射散射，所看到的光是散射光的累加。但这样分析太过复杂，不妨假设大气厚度趋于0，只散射一次，且正午太阳直射，我们以 \(90° - \theta\) 角度抬起脑袋仰望天空，接受到了距离为 \(R\) 处发生散射的光线。也就是说，只考虑和波长成四次方反比。

\[I_s \propto \frac{1}{\lambda ^ 4} \]

接收器：三视锥细胞

光进入眼前含有一堆复杂成分，人是怎么处理将其映射到某一个颜色的呢？

肉眼中存在三种视锥细胞，分别对可见光内不同的成分敏感。对于一个成分为 \(S(\lambda)\) 的光，有公式：

\[\begin{align*} X &= k \int_{380}^{780} S(\lambda) \overline{x}(\lambda) d\lambda\\ Y &= k \int_{380}^{780} S(\lambda) \overline{y}(\lambda) d\lambda\\ Z &= k \int_{380}^{780} S(\lambda) \overline{z}(\lambda) d\lambda \end{align*} \]

其中 \(\overline{x}, \overline{y}, \overline{z}\) 叫做 Color Matching Functions， 代表不同视锥细胞对颜色的刺激。对多数个体实验记录得到函数形式大概如下：

CMF 在频域上按光频率强度在可见光范围积分，得到得称作对于该视锥细胞的刺激值。X、Y、Z 的比例，反应了得到颜色的色相，X、Y、Z 总刺激的平均，反应了颜色的光强。

刺激值和色相的转换可视化图如下，称作 CIE 1931 色度空间，横纵坐标代表 X、Y 刺激值，因为色相只需要反映三者比例，归一化只需要二维表示。而图形的边缘，正好是纯色可见光的色相，因此能直接对应波长。

看 DNN 早期可解释性就有用这个模型解释的，CMF 相当于权重，\(S(\lambda)\) 相当于输入 feature，加权积分就是 MAC，而从刺激值到色彩空间的变换是非线性的相当于激活函数。不过引用陈云霁老师的话，人工神经网络之于神经网络，米老鼠之于老鼠啦！

实验结论

选取 380-780nm 范围作为可见光范围，

• 根据普朗克公式计算出 5578K 下可见光波长内的光谱；
• 经过瑞利散射，按照波长四次方反比关系滤波信号；
• 最后和 CMF 加权求积分，结果转换到 RGB 空间

可视化颜色，如图：

R: 140, G: 178, B: 253，就是在这个简单模型下的纯正的天蓝色！

消融实验

蓝色是否是黑体辐射引起的呢？假设光强按均匀分布，最后得到的颜色数值也近似天蓝色，数值为 R：147 G：176 B：254，变化很小，所以蓝色并非是由黑体辐射导致光源波长分布不均匀导致。

而若取消瑞利散射的滤波，则得到近似白色。所以蓝天是因为瑞利散射的结论是正确的。

之于天为什么不是紫色从数学上也大概能看出，总体颜色是对各个波长的积分，在紫色红色一搅合，最后呈现中间的蓝色了。

这么说，网上一般说法瑞利散射，对蓝光散射强，红光散射弱，所以呈蓝色不完全正确。严谨的表述应是：瑞利散射波长短散射强，波长强散射弱，可见光内紫光散射强，红光散射弱，一强一弱，原本混合白色的太阳光向中间的蓝色偏移了。

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