Codeforces 749E Gosha is hunting 二分+DP

很神奇的一题 看完题解不由惊叹

题意:\(n\)个神奇宝贝 \(a\)个普通球 \(b\)个高级球 普通球抓住\(i\)神奇宝贝的概率为\(u[i]\) 高级球为\(p[i]\) 一起用为\(u[i]+p[i]-u[i]*p[i]\) 求期望抓到个神奇宝贝个数

\(N,a,b\leq2000\)

首先不难想到\(O(n^3)\)的暴力\(DP\) 听说CF的机子可过 我们接下来写如何优化

对于一个凸函数\(f(x)\) 我们假设可以通过某种特殊方式获得其的极值和极值点

令\(F(x)=f(x)-kx\) 不难发现\(F(x)\)也是一个凸函数 仍然假设可以获得其极值和极值点 那么求导可以看出 当\(k\)减小时 极值点会右移

对于本题 暴力的\(dp\) 为\(f[i][j][k]\) 表示到第\(i\)个神奇宝贝用了\(j\)个普通球 \(k\)个高级球的最大期望

我们可以发现如果将\(f[i][j](x)\)看做之前提到的\(f(x)\) 那么我们可以通过二分\(k\)值并不断更新 使得\(F(x)\) 的极值点为\(b\) 此时的\(ans=F[n][a]_{max}+b*k\) 即为最大值

对于一次求\(F(x)=f[n][a]-kx\)的时间复杂度为\(O(n^2)\)

#include<bits/stdc++.h>
using namespace std;
#define FO(x) {freopen(#x".in","r",stdin);freopen(#x".out","w",stdout);}
#define pa pair<int,int>
#define mod 1000000007
#define ll long long
#define mk make_pair
#define pb push_back
#define fi first
#define se second
#define cl(x) memset(x,0,sizeof x)
#ifdef Devil_Gary
#define bug(x) cout<<(#x)<<" "<<(x)<<endl
#define debug(...) fprintf(stderr, __VA_ARGS__)
#else
#define bug(x)
#define debug(...)
#endif
#define eps 1e-10
const int INF = 0x3fff;
const int N=2e3+5;
/*
char *TT,*mo,but[(1<<15)+2];
#define getchar() ((TT==mo&&(mo=(TT=but)+fread(but,1,1<<15,stdin),TT==mo))?-1:*TT++)//*/
inline int read(){
    int x=0,rev=0,ch=getchar();
    while(ch<'0'||ch>'9'){if(ch=='-')rev=1;ch=getchar();}
    while(ch>='0'&&ch<='9'){x=(x<<1)+(x<<3)+ch-'0';ch=getchar();}
    return rev?-x:x;
}
double f[N][N],u[N],p[N];
int n,a,b,g[N][N];
void update(double&a,int&b,double c,int d){
	if(a+eps<c) a=c,b=d; 
}
int calc(double k){
	for(int i=1;i<=n;i++)
		for(int j=0;j<=a;j++){
		f[i][j]=g[i][j]=0;
		update(f[i][j],g[i][j],f[i-1][j],g[i-1][j]);
		update(f[i][j],g[i][j],f[i-1][j]+u[i]-k,g[i-1][j]+1);
		if(!j)continue;
		update(f[i][j],g[i][j],f[i-1][j-1]+p[i],g[i-1][j-1]);
		update(f[i][j],g[i][j],f[i-1][j-1]+1-(1-p[i])*(1-u[i])-k,g[i-1][j-1]+1);
	}
	return g[n][a];
}
int main(){
#ifdef Devil_Gary
	freopen("in.txt","r",stdin);
#endif
    cin>>n>>a>>b;
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>p[i]; 
	for(int i=1;i<=n;i++) cin>>u[i]; 
	double l=-INF,r=INF;
	for(int T=1;T<=100;T++){
		double mid=(l+r)/2; 
		if(calc(mid)<=b) r=mid;
		else l=mid;
	} 
	return printf("%.8f\n",f[n][a]+b*l),0;
}