多重背包二进制优化
转自:http://blog.csdn.net/ronhou/article/details/7738014
当输入样本特别大时,比如给出上百万件物品,这时候仅靠优化算法仍然不能使运行时间降到满意的范围。可考虑如何减少输入样本。poj1014的discussion上有一个非常巧妙的“取模优化”法。
设价值为v(1<=v<=6)的物品共有n件,我们希望找到一个比较小的数s(s<n), 且将n件物品v减少到s或s-1件,问题的可分性不变。考虑不可分和可分两种情况:
下面依次考虑v=1,2,3,4,5,6时如何根据“抽屉原理”得到满足条件I和II的s。
1总能被其它价值替换,所以满足条件I不是问题,为满足条件2,s必须大于6。 因为6是其它价值物品中一次可替换最多1的物品。
由1*(3-1)+2*(3-1)+4*(3-1)+5*(3-1)+6*(1-1) = 24 < 3*9知,s=8时满足条件I,且最多可替换5个3,所以s=8>5也满足条件II。
由1*(4-1)+2*(2-1)+3*(4-1)+5*(4-1)+6*(2-1) = 35 < 4*9知, s=8时满足条件I,且最多可替换5个4,所以s=8>5也满足条件II。
v=5时,s=12 替换法: if(n>12) n=12-n%2
由1*(5-1)+2*(5-1)+3*(5-1)+4*(5-1)+6*(5-1) = 64 < 5*13知,s=12满足条件I,且最多可替换6个5,所以s=12>6也满足条件II。
由1*(6-1)+2*(3-1)+3*(2-1)+4*(3-1)+5*(6-1) = 45 < 6*8知,s=7满足条件I,且最多可替换5个6,所以s=7>5也满足条件II。
可以看出,“模优化”将无论多么大的输入样本减少到50个以内,极大地减少了计算量,从而显著提高运行效率。而“模优化”的关键就是“抽屉原理”。