母函数的分析与总结

转自：

关于什么是母函数 ， 以及在现实生活中的应用 ， 请大家详看 或者 HDU 母函数 PPT：

http://www.cppblog.com/MiYu/archive/2010/08/05/122290.html

对于给出的母函数模板 ， 让人理解起来比较费劲的！以下给出几种解释 ， 和自己理解！

 

//made by syx
//time 2010年9月11日 10:17:27
//母函数例题

/*//整数拆分模板
#include <iostream>
using namespace std;
const int lmax=10000;
//c1是用来存放展开式的系数的，而c2则是用来计算时保存的，
//他是用下标来控制每一项的位置，比如 c2[3] 就是 x^3 的系数。
//用c1保存，然后在计算时用c2来保存变化的值。
int c1[lmax+1],c2[lmax+1];
int main()
{
            int n, i, j, k ;
           // 计算的方法还是模拟手动运算，一个括号一个括号的计算，
           // 从前往后
           while ( cin>>n )

          {
                     //对于 1+x+x^2+x^3+ 他们所有的系数都是 1
                     // 而 c2全部被初始化为0是因为以后要用到 c2[i] += x ;
                     for ( i=0; i<=n; i++ )

                     {
                                c1[i]=1;
                                c2[i]=0;
                     }
                      //第一层循环是一共有 n 个小括号，而刚才已经算过一个了
                      //所以是从2 到 n
                     for (i=2; i<=n; i++)

                   {
                                 // 第二层循环是把每一个小括号里面的每一项，都要与前一个
                                 //小括号里面的每一项计算。
                                for ( j=0; j<=n; j++ )
                                 //第三层小括号是要控制每一项里面 X 增加的比例
                                 // 这就是为什么要用 k+= i ;
                                         for ( k=0; k+j<=n; k+=i )

                                        {
                                                 // 合并同类项，他们的系数要加在一起，所以是加法，呵呵。
                                                 // 刚开始看的时候就卡在这里了。
                                                 c2[ j+k] += c1[ j];
                                         }
                               // 刷新一下数据，继续下一次计算，就是下一个括号里面的每一项。
                              for ( j=0; j<=n; j++ )

                              {
                                          c1[j] = c2[j] ;
                                          c2[j] = 0 ;
                              }
                   }
                    cout<<c1[n]<<endl;
        }
         return 0;
}
这句 c2[j+k] += c1[j];的理解还要自己好好的体会体会啊！
*/

自己理解：对于（#式）  (1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)*(1+x^2+x^4+x^6+x^8+x^10+....)*(1+x^3+x^6+x^9+x^12....).....

第一个for给c1 和 c2 赋值 ， 把上面#式的第一个括号(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+....)的系数给放在c1中，

从而再次计算从 # 的 第二个括号开始 ， 所以 i 就是代表的# 式第几个括号，

而 用程序模拟手工计算 ， 就是 先计算第一个括号 与 第二个括号 计算 ， 把结果放到c2中，

在把结果与第三个括号计算 ， 把结果放到c2中 ， 在和第四个括号计算，........

所以j 就是指的 已经计算出 的 各项的系数 ，比如第一次之后 1+x+x^2+x^3+x^4+x^5+... ， j=0指向1 ，

j=2 指向x ， .... ， 而 k 就是指 将要计算的那个括号中的项 ， 因为第i个括号 ， 中的指数为0 ， i ， 2i....所以 k要 + i ；

而结果 c2[j+k] += c1[j]; 就是把 以计算出的 j项的系数 和 现在正在计算的括号的k项相乘 ， 所以指数为j+k ， 所以结果放到c2[j+k] 中 ， 这就是这几个for的作用！

最后刷新下结果 ， 下一组数据计算

 

//整数拆分母函数模板
#include <iostream>
using namespace std;
const int lmax=10000;    
int c1[lmax+1],c2[lmax+1];
int main()
{ int n,i,j,k;
while (cin>>n)
{
   //首先对c1初始化，由第一个表达式(1+x+x2+..xn)初始化，
   //把质量从0到n的所有砝码都初始化为1.
   for (i=0;i<=n;i++)
   {
    c1[i]=1; 
    c2[i]=0; 
   }

   //i从2到n遍历，这里i就是指第i个表达式，
   //上面给出的第二种母函数关系式里，每一个括号括起来的就是一个表达式。
   for (i=2;i<=n;i++)
   { 
    //j 从0到n遍历，这里j就是只一个表达式
    //里第j个变量，比如在第二个表达式里：(1+x2+x4….)里，第j个就是x2*j.
    for ( j=0;j<=n;j++)
     for (k=0;k+j<=n;k+=i)//k表示的是第j个指数，所以k每次增i（因为第i个表达式的增量是i）。
      c2[ j+k]+=c1[j]; 
    //把c2的值赋给c1,而把c2初始化为0，因为c2每次是从一个表达式中开始的
    for (j=0;j<=n;j++)
    { 
     c1[j]=c2[j]; 
     c2[j]=0; 
    }
   }
   cout<<c1[n]<<endl;
}

return 0;
}

/*加个例题！
//HDU 1085
#include <iostream>
using namespace std;

int c1[10000], c2[10000];
int num[4];
int main()
{
    int nNum;
    while(scanf("%d %d %d", &num[1], &num[2], &num[3]) && (num[1]||num[2]||num[3]))
    {
        int _max = num[1]*1+num[2]*2+num[3]*5;
        // 初始化
        for(int i=0; i<=_max; ++i)
        {
            c1[i] = 0;
            c2[i] = 0;
        }
        for(int i=0; i<=num[1]; ++i)
            c1[i] = 1;
        for(int i=0; i<=num[1]; ++i)
            for(int j=0; j<=num[2]*2; j+=2) 
                c2[j+i] += c1[i];
   for(int i=0; i<=num[2]*2+num[1]*1; ++i)       // 看到范围的变化了吗？
   {
    c1[i] = c2[i];
    c2[i] = 0;
   }
  
   for(int i=0; i<=num[1]*1+num[2]*2; ++i)
    for(int j=0; j<=num[3]*5; j+=5)
     c2[j+i] += c1[i];
   for(int i=0; i<=num[2]*2+num[1]*1+num[3]*5; ++i)
   {
    c1[i] = c2[i];
    c2[i] = 0;
   }
   int i;
  
   for(i=0; i<=_max; ++i)
    if(c1[i] == 0)
    {
     printf("%d\n", i);
     break;
    }
   if(i == _max+1)
    printf("%d\n", i);
    }
    return 0;
}
*/

/*
//HDOJ_1398 Square Coins
//G(x)=(1+x+x2+x3+x4+…)(1+x4+x8+x12+…)(1+x9+x18+x27+…)…

#include <iostream>
using namespace std;
const int lmax=300;
int c1[lmax+1],c2[lmax+1];
int main(void)
{ 
int n,i,j,k;
while (cin>>n && n!=0)
{ 
   for (i=0;i<=n;i++)
   { 
    c1[i]=1; 
    c2[i]=0;  
   }
   for (i=2;i<=17;i++)
   { 
    for (j=0;j<=n;j++)
     for (k=0;k+j<=n;k+=i*i)
     { 
      c2[j+k]+=c1[j]; 
     }
     for (j=0;j<=n;j++)
     { 
      c1[j]=c2[j]; 
      c2[j]=0; 
     }
   }
   cout<<c1[n]<<endl;
}
return 0;
}

*/

有模板好……