Java牛顿迭代法

一、简介

    牛顿迭代法（Newton's method）又称为牛顿-拉夫逊（拉弗森）方法（Newton-Raphson method），它是牛顿在17世纪提出的一种在实数域和复数域上*似求解方程的方法。

 多数方程不存在求根公式，因此求精确根非常困难，甚至不可能，从而寻找方程的*似根就显得特别重要。方法使用函数  

的泰勒级数的前面几项来寻找方程  的根。牛顿迭代法是求方程根的重要方法之一，其最大优点是在方程 的单根附*具有*方收敛，而且该法还可以用来求方程的重根、复根，此时线性收敛，但是可通过一些方法变成超线性收敛。另外该方法广泛用于计算机编程中。

 

二、牛顿迭代公式

 

 

 

 三、代码实现

我们现在先求*方根： 设函数 f(x) = x^2 - a  ,那么求 a 的*方根等价于求 f(x) = 0 , 由牛顿迭代公式有：

  x = x0 - f(x0)/f `(x0)                           ( f `(x) 为函数 f(x)  的一阶导数 f `(x) != 0)

进行迭代：

     x1 = x0 -f(x0)/f `(x0) 

     x2 = x1 - f(x1)/f `(x1) 

 x3 = x2 - f(x2)/f `(x2) 

 ......

 xk+1 = xk - f(xk)/f `(xk)  (k = 0,1,2,3......)

 

同样道理，求立方根时 我们设函数 f(x) = x^3 - a,  那么求  a  的立方根等价于求 f(x) = 0

//迭代法求立方根
    public double getCube(double input){
        double x = 1;
        double x1 = x - (x*x*x - input) / (3*x*x);
        while(x - x1 >0.000000001 || x - x1 < -0.000000001){        //判断精度
            x = x1;
            x1 = x - (x*x*x - input) / (3*x*x);
        }
        return x1;
    }
    
    //迭代法求*方根
    public double getSqrt(double input){
        double x = 1;
        double x1 = x - (x*x - input)/(2*x);
        while(x - x1 > 0.00000001 || x - x1 < -0.00000001){
            x = x1;
            x1 = x - (x*x - input)/(2*x);
        }
        return x1;
    }