LeetCode（4）：两个排序数组的中位数
Hard！
题目描述：
有两个大小为 m 和 n 的排序数组 nums1 和 nums2 。
请找出两个排序数组的中位数并且总的运行时间复杂度为 O(log (m+n)) 。
示例 1:
nums1 = [1, 3] nums2 = [2] 中位数是 2.0
示例 2:
nums1 = [1, 2] nums2 = [3, 4] 中位数是 (2 + 3)/2 = 2.5
解题思路：
这道题让我们求两个有序数组的中位数，而且限制了时间复杂度为O(log (m+n))，看到这个时间复杂度，自然而然的想到了应该使用二分查找法来求解。但是这道题被定义为Hard也是有其原因的，难就难在要在两个未合并的有序数组之间使用二分法，这里我们需要定义一个函数来找到第K个元素，由于两个数组长度之和的奇偶不确定，因此需要分情况来讨论，对于奇数的情况，直接找到最中间的数即可，偶数的话需要求最中间两个数的平均值。下面重点来看如何实现找到第K个元素，首先我们需要让数组1的长度小于或等于数组2的长度，那么我们只需判断如果数组1的长度大于数组2的长度的话，交换两个数组即可，然后我们要判断小的数组是否为空，为空的话，直接在另一个数组找第K个即可。还有一种情况是当K = 1时，表示我们要找第一个元素，只要比较两个数组的第一个元素，返回较小的那个即可。
知识点回顾：
中位数的概念
中位数（又称中值，英语：Median），统计学中的专有名词，代表一个样本、种群或概率分布中的一个数值，其可将数值集合划分为相等的上下两部分。
对于有限的数集，可以通过把所有观察值高低排序后找出正中间的一个作为中位数。如果观察值有偶数个，通常取最中间的两个数值的平均数作为中位数。
C++参考答案一：
1 class Solution {
2 public:
3 double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
4 int total = nums1.size() + nums2.size();
5 if (total % 2 == 1) {
6 return findKth(nums1, 0, nums2, 0, total / 2 + 1);
7 } else {
8 return (findKth(nums1, 0, nums2, 0, total / 2) + findKth(nums1, 0, nums2, 0, total / 2 + 1)) / 2;
9 }
10 }
11 double findKth(vector<int> &nums1, int i, vector<int> &nums2, int j, int k) {
12 if (nums1.size() - i > nums2.size() - j) return findKth(nums2, j, nums1, i, k);
13 if (nums1.size() == i) return nums2[j + k - 1];
14 if (k == 1) return min(nums1[i], nums2[j]);
15 int pa = min(i + k / 2, int(nums1.size())), pb = j + k - pa + i;
16 if (nums1[pa - 1] < nums2[pb - 1])
17 return findKth(nums1, pa, nums2, j, k - pa + i);
18 else if (nums1[pa - 1] > nums2[pb - 1])
19 return findKth(nums1, i, nums2, pb, k - pb + j);
20 else
21 return nums1[pa - 1];
22 }
23 };
上面的方法变量太多，较为复杂，我们也可以通过在findKth函数中改变数组元素的个数来去掉一些变量，使代码整体看起来更加简洁清楚，参见代码如下：
C++参考答案二：
1 class Solution {
2 public:
3 double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
4 int m = nums1.size(), n = nums2.size();
5 return (findKth(nums1, nums2, (m + n + 1) / 2) + findKth(nums1, nums2, (m + n + 2) / 2)) / 2.0;
6 }
7 int findKth(vector<int> nums1, vector<int> nums2, int k) {
8 int m = nums1.size(), n = nums2.size();
9 if (m > n) return findKth(nums2, nums1, k);
10 if (m == 0) return nums2[k - 1];
11 if (k == 1) return min(nums1[0], nums2[0]);
12 int i = min(m, k / 2), j = min(n, k / 2);
13 if (nums1[i - 1] > nums2[j - 1]) {
14 return findKth(nums1, vector<int>(nums2.begin() + j, nums2.end()), k - j);
15 } else {
16 return findKth(vector<int>(nums1.begin() + i, nums1.end()), nums2, k - i);
17 }
18 return 0;
19 }
20 };
此题还能用二分搜索法来解，是一种相当巧妙的应用。讲解详见：https://leetcode.com/problems/median-of-two-sorted-arrays/discuss/2471/very-concise-ologminmn-iterative-solution-with-detailed-explanation
C++参考答案三：
1 class Solution {
2 public:
3 double findMedianSortedArrays(vector<int>& nums1, vector<int>& nums2) {
4 int m = nums1.size(), n = nums2.size();
5 if (m < n) return findMedianSortedArrays(nums2, nums1);
6 if (n == 0) return ((double)nums1[(m - 1) / 2] + (double)nums1[m / 2]) / 2.0;
7 int left = 0, right = n * 2;
8 while (left <= right) {
9 int mid2 = (left + right) / 2;
10 int mid1 = m + n - mid2;
11 double L1 = mid1 == 0 ? INT_MIN : nums1[(mid1 - 1) / 2];
12 double L2 = mid2 == 0 ? INT_MIN : nums2[(mid2 - 1) / 2];
13 double R1 = mid1 == m * 2 ? INT_MAX : nums1[mid1 / 2];
14 double R2 = mid2 == n * 2 ? INT_MAX : nums2[mid2 / 2];
15 if (L1 > R2) left = mid2 + 1;
16 else if (L2 > R1) right = mid2 - 1;
17 else return (max(L1, L2) + min(R1, R2)) / 2;
18 }
19 return -1;
20 }
21 };
